這個計算器能做什麼
這項工具可以求出通過三維空間中三個已知點 A、B、C 的平面方程式。結果以標準的一般式 \(ax + by + cz + d = 0\) 表示，其中 (a, b, c) 是垂直於平面的向量（法向量），而 d 則決定平面在空間中的位置。只要三點不共線，就能唯一確定一個平面——這正是本計算器所求出的答案。
使用方法
分別輸入三個點的 x、y、z 座標。這些數值都是一般的實數（可為正數、負數或零），不需要做任何單位換算。按下計算後，工具會回傳四個係數 a、b、c、d，並附上完整排版的平面方程式。如果你輸入的三個點剛好落在同一條直線上（或其中兩點重合），就無法決定唯一的平面，計算器也會提醒你這種情況。
公式解析
首先建立三角形的兩條邊向量：\(\vec{u} = B - A\) 與 \(\vec{v} = C - A\)。兩者的外積 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) 即為平面的法向量，其各分量正是係數 a、b、c：
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$由於點 A 位於平面上，我們便能透過代入求出 d：\(d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A)\)。將整個方程式乘上任意非零倍數，所描述的仍是同一個平面，因此直接使用外積算出的原始係數完全正確。
範例演算
取 \(A = (1, 2, -2)\)、\(B = (3, -2, 1)\)、\(C = (5, 1, -4)\)。則 \(\vec{u} = (2, -4, 3)\)，\(\vec{v} = (4, -1, -2)\)。外積得到 \(a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11\)，\(b = (3)(4) - (2)(-2) = 16\)，\(c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14\)。最後 \(d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15\)。因此平面方程式為 \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\)。代入點 B 驗算：\(33 - 32 + 14 - 15 = 0\)，正確無誤。
常見問題
如果三點共線會怎樣？此時外積會得到零向量 \((0, 0, 0)\)，而通過這條直線的平面有無限多個——沒有唯一解，因此計算器會回報這種退化（degenerate）情況。
為什麼我算出的答案和其他工具不同？多半只是倍率或正負號的差異。把每個係數同時乘上同一個非零數，得到的仍是同一個平面，所以 \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) 和 \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) 其實完全相同。
可以輸入小數嗎？可以——任何實數座標都適用，係數也會依你輸入的值精確計算出來。
