这个计算器能做什么
本工具可以求出三维空间中经过给定三个点 A、B、C 的平面方程，结果以标准的一般式 \(ax + by + cz + d = 0\) 表示。其中 \((a, b, c)\) 是与平面垂直的法向量，\(d\) 则决定了平面在空间中的具体位置。只要三个点不共线，就能唯一确定一个平面——这正是本计算器要为你算出的结果。
如何使用
分别输入三个点的 x、y、z 坐标。这些数值就是普通的实数（正数、负数或零均可），无需换算任何单位。点击「计算」后，工具会返回 a、b、c、d 四个系数，以及完整格式化的平面方程。如果你输入的三个点恰好落在同一条直线上（或其中两个点重合），就无法确定唯一的平面，此时计算器会给出相应提示。
公式详解
首先构造三角形的两条边向量：\(\vec{u} = B - A\)，\(\vec{v} = C - A\)。它们的叉乘 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) 就是平面的法向量，其各分量正是系数 a、b、c：
$$a = u_y v_z - u_z v_y,\quad b = u_z v_x - u_x v_z,\quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$由于点 A 在平面上，代入即可解出 d：$$d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A).$$需要注意的是，方程整体乘以任意非零常数所表示的仍是同一个平面，因此直接由叉乘得到的系数完全有效。
实例演算
设 \(A = (1, 2, -2)\)，\(B = (3, -2, 1)\)，\(C = (5, 1, -4)\)。则 \(\vec{u} = (2, -4, 3)\)，\(\vec{v} = (4, -1, -2)\)。叉乘得到 $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11,$$ $$b = (3)(4) - (2)(-2) = 16,$$ $$c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ 最后 $$d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15.$$ 因此平面方程为 \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\)。代入点 B 验证：\(33 - 32 + 14 - 15 = 0\)，结果正确。
常见问题
如果三个点共线怎么办？ 此时叉乘结果为零向量 \((0, 0, 0)\)，包含这条直线的平面有无穷多个，不存在唯一解，因此计算器会提示这种退化情况。
为什么我的答案和别的工具不一样？ 很可能只是系数的比例或正负号不同。所有系数同时乘以同一个非零数，所表示的平面完全相同。例如 \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) 与 \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) 其实是同一个平面。
可以输入小数吗？ 当然可以——任意实数坐标都支持，计算器会根据你的输入精确算出系数。
