세 점을 지나는 평면 방정식 계산기

계산 입력

점 A의 x

점 A의 y

점 A의 z

점 B의 x

점 B의 y

점 B의 z

점 C의 x

점 C의 y

점 C의 z

결과

평면 방정식

11x + 16y + 14z - 15 = 0

ax + by + cz + d = 0

a (x의 계수)	11
b (y의 계수)	16
c (z의 계수)	14
d (상수항)	-15

이 계산기의 기능

이 도구는 주어진 세 점 A, B, C를 지나는 3차원 공간상의 평면 방정식을 구해 줍니다. 결과는 표준 일반형 \(ax + by + cz + d = 0\) 으로 표현되며, 여기서 (a, b, c)는 평면에 수직인 법선 벡터이고 d는 평면의 위치를 결정합니다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 단 하나의 평면을 유일하게 결정하는데, 바로 그 평면이 이 계산기가 알려 주는 결과입니다.

사용 방법

세 점 각각의 x, y, z 좌표를 입력하세요. 값은 일반적인 실수(양수, 음수, 0 모두 가능)이며 변환할 단위는 없습니다. 계산 버튼을 누르면 네 개의 계수 a, b, c, d와 함께 완성된 평면 방정식이 나타납니다. 만약 세 점이 한 직선 위에 놓이거나(또는 두 점이 겹치면) 유일한 평면이 존재하지 않으므로, 계산기가 그 사실을 알려 줍니다.

공식 풀이

먼저 삼각형의 두 모서리 벡터를 만듭니다: \(\vec{u} = B - A\), \(\vec{v} = C - A\). 두 벡터의 외적 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)는 평면에 수직인 법선 벡터가 되며, 그 성분이 곧 계수 a, b, c입니다:

$$ax + by + cz + d = 0$$$$\left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(B_x - A_x,\; B_y - A_y,\; B_z - A_z\right) \\ \vec{v} &= \left(C_x - A_x,\; C_y - A_y,\; C_z - A_z\right) \\ (a,b,c) &= \vec{u} \times \vec{v} \\ d &= -\left(a\,A_x + b\,A_y + c\,A_z\right) \end{aligned} \right.$$

\(a = u_y v_z - u_z v_y\),   \(b = u_z v_x - u_x v_z\),   \(c = u_x v_y - u_y v_x\).

점 A가 평면 위에 있으므로 대입을 통해 d를 구합니다: \(d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A)\). 방정식 전체에 같은 수를 곱해도 같은 평면을 나타내므로, 외적으로 그대로 얻은 계수도 완벽하게 유효합니다.

법선 벡터 n은 점 A, B, C를 지나는 평면 위에 있는 모서리 벡터 u와 v의 외적입니다.

예제 풀이

\(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\)이라고 하면 \(\vec{u} = (2, -4, 3)\), \(\vec{v} = (4, -1, -2)\)입니다. 외적을 계산하면 \(a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11\), \(b = (3)(4) - (2)(-2) = 16\), \(c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14\)입니다. 마지막으로 \(d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15\). 따라서 평면은 \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) 입니다. 점 B로 검산해 보면 \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). 정확히 맞습니다.

자주 묻는 질문

세 점이 한 직선 위에 있으면 어떻게 되나요? 그러면 외적이 영벡터 \((0, 0, 0)\)이 되고 그 직선을 포함하는 평면이 무수히 많아집니다. 즉 유일한 답이 없으므로 계산기가 퇴화된(불능) 경우임을 알려 줍니다.

다른 계산기와 답이 다른 이유는 무엇인가요? 대개는 배율이나 부호 차이일 뿐입니다. 모든 계수에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 동일한 평면이 되므로, \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) 과 \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) 은 같은 평면입니다.

소수를 사용할 수 있나요? 네 — 어떤 실수 좌표든 사용할 수 있으며, 입력값을 바탕으로 계수가 정확하게 계산됩니다.