Công Cụ Này Làm Gì
Công cụ này giúp bạn tìm phương trình của một mặt phẳng trong không gian ba chiều đi qua ba điểm cho trước A, B và C. Kết quả được biểu diễn dưới dạng tổng quát quen thuộc \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó (a, b, c) là vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng, còn d xác định vị trí của mặt phẳng trong không gian. Ba điểm không thẳng hàng luôn xác định duy nhất một mặt phẳng — và đó chính là kết quả mà công cụ này trả về.
Cách Sử Dụng
Bạn chỉ cần nhập tọa độ x, y và z của từng điểm trong ba điểm. Các giá trị là số thực thông thường (dương, âm hoặc bằng 0) — không cần đổi đơn vị gì cả. Nhấn nút tính toán, công cụ sẽ trả về bốn hệ số a, b, c, d cùng với phương trình mặt phẳng đã được định dạng đầy đủ. Nếu ba điểm của bạn tình cờ nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc có hai điểm trùng nhau), thì sẽ không tồn tại mặt phẳng duy nhất và công cụ sẽ thông báo cho bạn biết điều đó.
Giải Thích Công Thức
Trước tiên, ta dựng hai vectơ cạnh của tam giác: \(\vec{u} = B - A\) và \(\vec{v} = C - A\). Tích có hướng của chúng \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) cho ta một vectơ pháp tuyến với mặt phẳng, và các thành phần của vectơ này chính là các hệ số a, b và c:
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$
Vì điểm A nằm trên mặt phẳng nên ta tìm d bằng cách thế tọa độ vào: $$d = -\left(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A\right).$$ Lưu ý rằng mọi bội số của phương trình đều mô tả cùng một mặt phẳng, nên các hệ số thu được trực tiếp từ tích có hướng hoàn toàn hợp lệ.
Ví Dụ Minh Họa
Lấy \(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\). Khi đó \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) và \(\vec{v} = (4, -1, -2)\). Tích có hướng cho ta $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11,$$ $$b = (3)(4) - (2)(-2) = 16,$$ $$c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ Cuối cùng $$d = -\left(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)\right) = -15.$$ Vậy mặt phẳng là \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\). Kiểm tra lại với điểm B: \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). Chính xác.
Câu Hỏi Thường Gặp
Nếu ba điểm thẳng hàng thì sao? Khi đó tích có hướng là vectơ không \((0, 0, 0)\) và có vô số mặt phẳng cùng chứa đường thẳng đó — không có đáp án duy nhất, nên công cụ sẽ báo đây là trường hợp suy biến.
Tại sao kết quả của tôi khác với công cụ khác? Rất có thể chỉ là khác về tỉ lệ hoặc dấu. Nhân tất cả các hệ số với cùng một số khác 0 vẫn cho ra cùng một mặt phẳng, nên \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) và \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) thực ra là một.
Tôi có thể nhập số thập phân không? Có — mọi tọa độ là số thực đều dùng được, và các hệ số sẽ được tính chính xác từ dữ liệu bạn nhập.
