Что делает этот калькулятор
Этот инструмент находит уравнение плоскости в трёхмерном пространстве, которая проходит через три заданные точки A, B и C. Ответ записывается в стандартном общем виде \(ax + by + cz + d = 0\), где (a, b, c) — это вектор, перпендикулярный плоскости (вектор нормали), а d задаёт положение плоскости в пространстве. Три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют единственную плоскость — именно её и возвращает калькулятор.
Как пользоваться
Введите координаты x, y и z для каждой из трёх точек. Значения — это обычные действительные числа (положительные, отрицательные или ноль), переводить единицы измерения не нужно. Нажмите «Вычислить», и инструмент выдаст четыре коэффициента a, b, c, d вместе с готовым уравнением плоскости. Если ваши три точки окажутся на одной прямой (или две из них совпадут), единственной плоскости не существует — калькулятор сообщит об этом.
Разбор формулы
Сначала строим два вектора-стороны треугольника: \(\vec{u} = B - A\) и \(\vec{v} = C - A\). Их векторное произведение \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) даёт вектор нормали к плоскости, а его компоненты и есть коэффициенты a, b и c:
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$
Поскольку точка A лежит на плоскости, коэффициент d находим подстановкой: \(d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A)\). Любое уравнение, умноженное на отличный от нуля множитель, описывает ту же самую плоскость, поэтому «сырые» коэффициенты, полученные из векторного произведения, полностью корректны.
Разбор примера
Возьмём \(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\). Тогда \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) и \(\vec{v} = (4, -1, -2)\). Векторное произведение даёт $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11, \quad b = (3)(4) - (2)(-2) = 16, \quad c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ Наконец, \(d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15\). Плоскость: \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\). Проверяем точку B: \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). Верно.
Частые вопросы
Что если точки лежат на одной прямой? Тогда векторное произведение равно нулевому вектору \((0, 0, 0)\), и через эту прямую проходит бесконечно много плоскостей — единственного ответа нет, поэтому калькулятор сообщает о вырожденном случае.
Почему мой ответ отличается от результата другого калькулятора? Скорее всего, дело лишь в масштабе или знаке. Если умножить все коэффициенты на одно и то же ненулевое число, получится та же плоскость, так что \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) и \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) — это одно и то же.
Можно ли вводить дробные числа? Да — подойдёт любая действительная координата, а коэффициенты будут вычислены точно по вашим данным.
