ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إيجاد معادلة المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد المار بثلاث نقاط معطاة هي A وB وC. وتُكتب النتيجة بالصورة العامة القياسية \(ax + by + cz + d = 0\)، حيث يمثّل المتجه (a, b, c) متجهًا عموديًا (ناظميًا) على المستوى، بينما يحدّد الثابت d موضع المستوى في الفضاء. ومن المعروف أن ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة تُعيّن مستوى واحدًا فريدًا، وهو بالضبط ما تُرجعه لك هذه الحاسبة.
طريقة الاستخدام
أدخل الإحداثيات x وy وz لكل نقطة من النقاط الثلاث. والقيم هي أعداد حقيقية عادية (موجبة أو سالبة أو صفر)، ولا توجد وحدات تحتاج إلى تحويل. اضغط على زر الحساب، فتُرجع لك الأداة المعاملات الأربعة a وb وc وd مع معادلة المستوى مكتوبة بشكل كامل ومنسّق. وإذا تصادف أن وقعت النقاط الثلاث على خط مستقيم واحد (أو تطابقت نقطتان منها)، فلن يوجد مستوى فريد، وستُنبّهك الحاسبة إلى ذلك.
شرح المعادلة
أولًا نُكوّن متجهين لضلعي المثلث: \(\vec{u} = B - A\) و \(\vec{v} = C - A\). ويُعطينا حاصل ضربهما الاتجاهي \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) متجهًا ناظميًا على المستوى، وتكون مركّباته هي المعاملات a وb وc:
$$a = u_y v_z - u_z v_y,\quad b = u_z v_x - u_x v_z,\quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$
وبما أن النقطة A تقع على المستوى، فإننا نوجد قيمة d بالتعويض: $$d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A).$$ وأي مضاعف عددي للمعادلة يصف المستوى نفسه، ولذلك فإن معاملات الضرب الاتجاهي الأصلية صحيحة تمامًا.
مثال محلول
لنأخذ \(A = (1, 2, -2)\) و \(B = (3, -2, 1)\) و \(C = (5, 1, -4)\). عندئذٍ يكون \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) و \(\vec{v} = (4, -1, -2)\). ويُعطينا الضرب الاتجاهي: $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11,$$ $$b = (3)(4) - (2)(-2) = 16,$$ $$c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ وأخيرًا $$d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15.$$ فتكون معادلة المستوى هي \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\). وللتحقق من النقطة B: \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). النتيجة صحيحة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت النقاط على استقامة واحدة؟ في هذه الحالة يكون حاصل الضرب الاتجاهي هو المتجه الصفري \((0, 0, 0)\)، ويوجد عدد لا نهائي من المستويات التي تحتوي على ذلك الخط، فلا يوجد جواب فريد، ومن ثَمّ تُبلّغك الحاسبة بحالة التحلّل (الحالة الشاذة).
لماذا تختلف نتيجتي عن أداة أخرى؟ غالبًا ما يكون السبب مجرد اختلاف في المقياس أو الإشارة. فضرب جميع المعاملات في العدد نفسه غير الصفري يُعطي المستوى ذاته، ولذلك فإن \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) و \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) يمثّلان المستوى نفسه.
هل يمكنني استخدام الأعداد العشرية؟ نعم، فأي إحداثي حقيقي مقبول، وستُحسب المعاملات بدقة انطلاقًا من القيم التي تُدخلها.
