Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine l'équation d'un plan dans l'espace à trois dimensions passant par trois points donnés A, B et C. Le résultat est exprimé sous la forme générale classique \(ax + by + cz + d = 0\), où (a, b, c) représente un vecteur perpendiculaire (normal) au plan et d positionne ce plan dans l'espace. Trois points non alignés définissent un plan unique : c'est précisément ce que renvoie ce calculateur.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées x, y et z de chacun des trois points. Les valeurs sont de simples nombres réels (positifs, négatifs ou nuls) : aucune conversion d'unité n'est nécessaire. Lancez le calcul et l'outil affiche les quatre coefficients a, b, c, d ainsi que l'équation du plan entièrement mise en forme. Si vos trois points se trouvent alignés sur une même droite (ou si deux d'entre eux sont confondus), aucun plan unique n'existe et le calculateur vous le signale.
La formule expliquée
On construit d'abord deux vecteurs représentant les côtés du triangle : \(\vec{u} = B - A\) et \(\vec{v} = C - A\). Leur produit vectoriel \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) fournit un vecteur normal au plan, dont les composantes correspondent aux coefficients a, b et c :
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$
Comme le point A appartient au plan, on obtient d par substitution : \(d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A)\). Tout multiple scalaire de l'équation décrit le même plan ; les coefficients bruts issus du produit vectoriel sont donc parfaitement valables.
Exemple résolu
Prenons \(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\). On a alors \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) et \(\vec{v} = (4, -1, -2)\). Le produit vectoriel donne $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11, \quad b = (3)(4) - (2)(-2) = 16, \quad c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ Enfin $$d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15.$$ Le plan est donc \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\). Vérification avec le point B : \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). C'est exact.
FAQ
Que se passe-t-il si les points sont alignés ? Le produit vectoriel est alors le vecteur nul \((0, 0, 0)\) et une infinité de plans contiennent la droite : il n'existe aucune réponse unique, et le calculateur signale ce cas dégénéré.
Pourquoi mon résultat diffère-t-il de celui d'un autre outil ? Il s'agit le plus souvent d'une simple différence d'échelle ou de signe. Multiplier tous les coefficients par un même nombre non nul donne exactement le même plan : ainsi \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) et \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) désignent le même plan.
Puis-je utiliser des décimales ? Oui : n'importe quelle coordonnée réelle est acceptée, et les coefficients seront calculés exactement à partir de vos valeurs.
