À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la distance la plus courte (perpendiculaire) dans l'espace à trois dimensions entre un point unique et un plan. Le point est défini par ses coordonnées (x0, y0, z0), tandis que le plan est décrit par l'équation linéaire générale \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\), où (a, b, c) constitue le vecteur normal du plan. Le résultat est un nombre positif ou nul, exprimé dans la même unité que vos coordonnées.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coordonnées de votre point, puis les quatre constantes de l'équation du plan : les coefficients a, b et c (les composantes du vecteur normal) ainsi que le terme constant d. Cliquez sur « Calculer ». L'outil renvoie la distance L accompagnée du numérateur et du dénominateur, de façon à pouvoir vérifier chaque étape du calcul. Toutes les valeurs saisies sont de simples nombres réels, qui peuvent être négatifs ou décimaux.
La formule expliquée
La valeur signée de l'équation du plan évaluée au point, soit \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\), mesure à quel point le point s'écarte du plan, à l'échelle de la longueur du vecteur normal.
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$En divisant par la norme de ce vecteur normal, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), on ramène cette mesure à de véritables unités de distance, et la valeur absolue garantit un résultat positif ou nul. Une distance exactement égale à 0 signifie que le point appartient au plan.
Exemple concret
Prenons le point (1, 2, 3) et le plan \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\). Le numérateur vaut \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\). Le dénominateur vaut \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}3851648\). On obtient donc
$$L = \frac{24}{5{,}3851648} \approx 4{,}4565820$$FAQ
La distance peut-elle être négative ? Non. La valeur absolue présente au numérateur fait que le résultat est toujours nul ou positif.
Que se passe-t-il si a, b et c valent tous zéro ? Dans ce cas, il n'existe aucun plan valide, car le vecteur normal est de longueur nulle, et la distance n'est pas définie. Le calculateur empêche toute division par zéro.
Dois-je d'abord normaliser l'équation du plan ? Non. La division par la norme du vecteur normal réalise la normalisation automatiquement : tout multiple scalaire d'un même plan donne donc la même distance.
