À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la distance la plus courte (la distance perpendiculaire) entre un point et une droite dans le plan en deux dimensions. La droite est exprimée sous sa forme générale, \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\), et le point par ses coordonnées \((x_0, y_0)\). Le résultat correspond toujours à une longueur positive ou nulle, mesurée perpendiculairement à la droite.
Mode d'emploi
Saisissez les trois coefficients a, b et c de l'équation de votre droite, puis indiquez les coordonnées de votre point. Cliquez sur « Calculer ». Si votre droite est donnée sous forme réduite, du type \(y = m\cdot x + k\), réécrivez-la sous la forme \(m\cdot x - y + k = 0\) : on a alors \(a = m\), \(b = -1\) et \(c = k\).
La formule expliquée
La distance vaut $$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ Le numérateur mesure l'écart entre les coordonnées du point et l'équation de la droite, et la division par \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) normalise cet écart par la norme du vecteur normal \((a, b)\) à la droite. La valeur absolue garantit une distance positive ; si on la retire, on obtient une valeur signée dont le signe indique de quel côté de la droite se trouve le point.
Exemple détaillé
Prenons la droite \(3x + 4y - 5 = 0\) et le point \((0, 0)\). Le numérateur vaut \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\). Le dénominateur vaut \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). On obtient donc $$d = \frac{5}{5} = 1$$ L'origine se situe ainsi à exactement une unité de cette droite.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a et b sont tous les deux nuls ? Dans ce cas, \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) ne définit pas une droite valide : la distance n'est donc pas définie. Le calculateur renvoie alors 0 pour éviter une division par zéro.
Le signe de d a-t-il une importance ? La distance principale est toujours positive. La ligne « distance signée » vous indique dans quel demi-plan se trouve le point : positive d'un côté, négative de l'autre.
Puis-je l'utiliser pour une droite passant par deux points ? Oui. Convertissez les deux points \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) en \(a = y_2-y_1\), \(b = x_1-x_2\), \(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\), puis saisissez ces coefficients.
