Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia más corta (la perpendicular) entre un punto y una recta en el plano bidimensional. La recta se expresa en su forma general, \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\), y el punto se indica mediante sus coordenadas \((x_0, y_0)\). El resultado es siempre una longitud no negativa, medida en perpendicular a la recta.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes a, b y c de la ecuación de tu recta y, a continuación, las coordenadas del punto. Pulsa calcular. Si tienes la recta en forma explícita, del tipo \(y = m\cdot x + k\), reescríbela como \(m\cdot x - y + k = 0\), de modo que \(a = m\), \(b = -1\) y \(c = k\).
La fórmula explicada
La distancia es $$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ El numerador mide cuánto se alejan las coordenadas del punto de cumplir la ecuación de la recta, y al dividir entre \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ese valor se normaliza según el módulo del vector normal de la recta \((a, b)\). El valor absoluto garantiza una distancia positiva; si lo omites, obtienes un valor con signo que indica en qué lado de la recta se encuentra el punto.
Ejemplo resuelto
Tomemos la recta \(3x + 4y - 5 = 0\) y el punto \((0, 0)\). El numerador es \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\). El denominador es \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Por tanto, $$d = \frac{5}{5} = 1.$$ El origen está exactamente a una unidad de esta recta.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a y b son ambos cero? En ese caso, \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) no representa una recta válida, así que la distancia queda indefinida; la calculadora devuelve 0 para evitar una división entre cero.
¿Importa el signo de d? La distancia principal siempre es positiva. La fila de la distancia con signo te dice en qué semiplano cae el punto: positivo en un lado, negativo en el otro.
¿Puedo usarla para una recta que pasa por dos puntos? Sí: convierte los dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) en \(a = y_2-y_1\), \(b = x_1-x_2\), \(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\) y, después, introduce esos coeficientes.
