यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल द्विविमीय (2D) तल में किसी बिंदु से एक सीधी रेखा की सबसे छोटी (लंबवत) दूरी निकालता है। रेखा सामान्य रूप \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) में दी जाती है और बिंदु उसके निर्देशांक \((x_0, y_0)\) से। परिणाम हमेशा एक धनात्मक लंबाई होती है, जिसे रेखा पर लंबवत मापा जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी रेखा समीकरण के तीनों गुणांक a, b और c भरें, फिर अपने बिंदु के निर्देशांक दर्ज करें। इसके बाद calculate पर क्लिक करें। यदि आपकी रेखा ढाल-अंतःखंड रूप यानी \(y = m\cdot x + k\) में है, तो उसे \(m\cdot x - y + k = 0\) के रूप में लिखें, जहाँ \(a = m\), \(b = -1\) और \(c = k\) होगा।
सूत्र की व्याख्या
दूरी का सूत्र है $$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ अंश (numerator) यह दर्शाता है कि बिंदु के निर्देशांक रेखा समीकरण को संतुष्ट करने से कितने दूर हैं, और इसे \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) से भाग देने पर यह रेखा के अभिलंब सदिश \((a, b)\) के परिमाण के अनुसार सामान्यीकृत (normalize) हो जाता है। निरपेक्ष मान (absolute value) यह सुनिश्चित करता है कि दूरी धनात्मक हो; इसे हटाने पर एक चिह्नित (signed) मान मिलता है, जिसका चिह्न बताता है कि बिंदु रेखा के किस ओर है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए रेखा \(3x + 4y - 5 = 0\) है और बिंदु \((0, 0)\) है। अंश होगा \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\)। हर (denominator) होगा \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)। अतः $$d = \frac{5}{5} = 1$$ यानी मूल बिंदु इस रेखा से ठीक एक इकाई की दूरी पर स्थित है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि a और b दोनों शून्य हों तो क्या होगा? तब \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) एक मान्य रेखा नहीं रह जाती, इसलिए दूरी अपरिभाषित हो जाती है; शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है।
क्या d का चिह्न मायने रखता है? मुख्य दूरी हमेशा धनात्मक होती है। चिह्नित दूरी (signed distance) वाली पंक्ति बताती है कि बिंदु किस अर्ध-तल में है — एक ओर धनात्मक और दूसरी ओर ऋणात्मक।
क्या इसे दो बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं? हाँ — दो बिंदुओं \((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) को इन गुणांकों में बदलें: \(a = y_2-y_1\), \(b = x_1-x_2\), \(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\), और फिर इन्हें दर्ज कर दें।
