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परिणाम

बिंदु से रेखा की दूरी

2.6

इकाई

चिह्न-सहित दूरी	2.6
√(A² + B²)	5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल द्वि-विमीय (2D) तल में किसी बिंदु (x₀, y₀) से सामान्य रूप $Ax + By + C = 0$ में लिखी सीधी रेखा तक की न्यूनतम (लंबवत) दूरी निकालता है। यह पूरी तरह ज्यामिति पर आधारित कैलकुलेटर है, इसलिए यह हर जगह काम करता है — इसमें किसी देश या इकाई से जुड़ी कोई शर्त नहीं है। उत्तर उन्हीं इकाइयों में मिलेगा जिनमें आपके निर्देशांक (coordinates) हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अपनी रेखा को $Ax + By + C = 0$ के रूप में लिखें। उदाहरण के लिए, रेखा $y = 2x + 1$ बन जाती है $2x - y + 1 = 0$, यानी $A = 2$, $B = -1$, $C = 1$। अब A, B और C दर्ज करें और फिर अपने बिंदु के निर्देशांक भरें। कैलकुलेटर आपको लंबवत दूरी, चिह्न-सहित दूरी (signed distance) और सामान्यीकरण गुणांक $\sqrt{A^2 + B^2}$ दिखा देगा।

सूत्र की व्याख्या

दूरी इस सूत्र से मिलती है: $$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ अंश (numerator) यह बताता है कि बिंदु रेखा के समीकरण को पूरा करने से कितना दूर है, और इसे अभिलंब सदिश (normal vector) $(A, B)$ की लंबाई से विभाजित करने पर यह वास्तविक ज्यामितीय दूरी में बदल जाता है। यदि निरपेक्ष मान (absolute value) हटा दें तो चिह्न-सहित दूरी मिलती है: धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि बिंदु रेखा के एक ओर है, और ऋणात्मक चिह्न दूसरी ओर।

एक सीधी रेखा जिसमें एक बाहरी बिंदु और सबसे छोटी दूरी दर्शाता एक लंब खंड है — दूरी $d$ बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ है और बिंदु $(2, 3)$ है। अंश होगा $$|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13$$ हर (denominator) होगा $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ तो $$d = \frac{13}{5} = 2.6 \text{ इकाई}$$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

$y = mx + b$ को $Ax + By + C = 0$ में कैसे बदलें? इसे $mx - y + b = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें, जिससे $A = m$, $B = -1$, $C = b$ मिलता है।

अगर A और B दोनों शून्य हों तो? तब $Ax + By + C = 0$ एक मान्य रेखा नहीं है और दूरी अपरिभाषित रहती है; शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है।

चिह्न-सहित दूरी क्या बताती है? इसका चिह्न यह दर्शाता है कि बिंदु रेखा के किस ओर स्थित है, जो अर्ध-तल (half-plane) जाँच और दिशा (orientation) निर्धारण में उपयोगी होता है।

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