Что считает этот калькулятор
Этот инструмент находит кратчайшее (перпендикулярное) расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой, заданной в общем виде \(Ax + By + C = 0\), на двумерной плоскости. Это чисто геометрический калькулятор, поэтому он работает где угодно и не зависит ни от страны, ни от системы единиц — ответ получается в тех же единицах, в которых заданы ваши координаты.
Как пользоваться
Запишите уравнение прямой в виде \(Ax + By + C = 0\). Например, прямая \(y = 2x + 1\) превращается в \(2x - y + 1 = 0\), то есть \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 1\). Введите коэффициенты A, B и C, а затем координаты точки. Калькулятор выдаст перпендикулярное расстояние, расстояние со знаком и нормирующий множитель \(\sqrt{A^2 + B^2}\).
Разбор формулы
Расстояние вычисляется по формуле $$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Числитель показывает, насколько точка «не удовлетворяет» уравнению прямой, а деление на длину вектора нормали \((A, B)\) переводит эту величину в настоящее геометрическое расстояние. Если убрать модуль, получится расстояние со знаком: плюс означает, что точка лежит по одну сторону прямой, минус — по другую.
Разбор примера
Возьмём прямую \(3x + 4y - 5 = 0\) и точку \((2, 3)\). Числитель равен \(|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5| = |6 + 12 - 5| = 13\). Знаменатель равен \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Значит, $$d = \frac{13}{5} = 2{,}6 \text{ единицы}$$
Частые вопросы
Как привести \(y = mx + b\) к виду \(Ax + By + C = 0\)? Перенесите всё в одну часть: \(mx - y + b = 0\), тогда \(A = m\), \(B = -1\), \(C = b\).
А если A и B одновременно равны нулю? Тогда выражение \(Ax + By + C = 0\) не задаёт прямую, и расстояние не определено; чтобы избежать деления на ноль, калькулятор возвращает 0.
Что показывает расстояние со знаком? Его знак говорит, по какую сторону прямой находится точка. Это удобно для проверки принадлежности полуплоскости и определения ориентации.
