Что делает этот калькулятор
Этот инструмент находит кратчайшее (перпендикулярное) расстояние между точкой в трёхмерном пространстве и плоскостью. Плоскость задаётся общим уравнением \(ax + by + cz + d = 0\), а точка — своими координатами \((x_0, y_0, z_0)\). Результат всегда неотрицателен и показывает, насколько далеко точка находится от плоскости.
Как пользоваться
Введите четыре коэффициента плоскости — \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), а затем координаты точки \(x_0\), \(y_0\) и \(z_0\). Нажмите «Рассчитать», и вы получите расстояние, а также знаковое значение числителя и длину нормального вектора плоскости для справки. Если знаковое значение числителя равно нулю, точка лежит точно на плоскости (расстояние = 0).
Разбор формулы
Вектор \((a, b, c)\) — это нормаль к плоскости. Выражение \(a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d\) показывает, насколько точка смещена вдоль этой нормали (значение со знаком). Если разделить его модуль на длину нормали \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), мы получаем настоящее геометрическое расстояние:
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} + \text{c}^{2}}}$$
Пример расчёта
Плоскость: \(x + 2y + 2z - 6 = 0\), точка \((1, 1, 1)\). Числитель \(= |1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6| = |-1| = 1\). Длина нормали \(= \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). Значит, $$D = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \text{ единицы.}$$
Частые вопросы
Что делать, если плоскость задана как \(ax+by+cz = d\)? Перенесите всё в одну сторону: \(ax+by+cz - d = 0\). То есть в калькулятор нужно ввести константу со знаком минус, как \(-d\).
Почему результат никогда не бывает отрицательным? Расстояние — это величина без знака, поэтому берётся модуль числителя. Знаковое значение показывается отдельно: оно указывает, по какую сторону плоскости расположена точка.
Что произойдёт, если \(a\), \(b\) и \(c\) равны нулю? Тогда плоскость не определена (нормаль имеет нулевую длину) и расстояние не существует. В этом вырожденном случае калькулятор возвращает 0.
