Công Cụ Này Làm Gì?
Công cụ này giúp bạn tìm khoảng cách ngắn nhất (theo phương vuông góc) giữa một điểm trong không gian ba chiều và một mặt phẳng. Mặt phẳng được cho ở dạng tổng quát ax + by + cz + d = 0, còn điểm được xác định bởi tọa độ (x₀, y₀, z₀). Kết quả luôn là một số không âm, thể hiện điểm đó nằm cách mặt phẳng bao xa.
Cách Sử Dụng
Bạn nhập bốn hệ số của mặt phẳng là a, b, c và d, sau đó nhập tọa độ của điểm gồm x₀, y₀ và z₀. Nhấn nút tính toán để nhận được khoảng cách, kèm theo giá trị có dấu của tử số và độ dài của vectơ pháp tuyến để tham khảo. Nếu giá trị có dấu này bằng 0 thì điểm nằm ngay trên mặt phẳng (khoảng cách = 0).
Giải Thích Công Thức
Vectơ (a, b, c) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Biểu thức \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) cho biết điểm nằm bao xa theo phương pháp tuyến đó (đây là một giá trị có dấu). Lấy trị tuyệt đối của biểu thức này chia cho độ dài vectơ pháp tuyến \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) sẽ chuyển nó thành khoảng cách hình học thực sự:
$$d = \frac{\left| a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 + d \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$$
Ví Dụ Minh Họa
Mặt phẳng: x + 2y + 2z − 6 = 0, điểm (1, 1, 1). Tử số = \(\left| 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 - 6 \right| = \left| -1 \right| = 1\). Độ dài vectơ pháp tuyến = \(\sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3\). Vậy $$d = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \text{ đơn vị}.$$
Câu Hỏi Thường Gặp
Nếu mặt phẳng được cho dưới dạng ax+by+cz = d thì sao? Bạn chỉ cần biến đổi về dạng ax+by+cz − d = 0, tức là nhập hằng số là −d vào công cụ này.
Tại sao kết quả không bao giờ âm? Vì khoảng cách là một độ lớn, nên ta dùng trị tuyệt đối của tử số. Giá trị có dấu được hiển thị riêng để cho biết điểm nằm ở phía nào của mặt phẳng.
Điều gì xảy ra nếu a, b và c đều bằng 0? Khi đó không tồn tại mặt phẳng hợp lệ (vectơ pháp tuyến có độ dài bằng 0) và khoảng cách không xác định; trong trường hợp suy biến này, công cụ sẽ trả về kết quả là 0.
