Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng

Nhập phép tính

Đường thẳng: a·x + b·y + c = 0

a

b

c

Điểm (x₀, y₀)

x₀

y₀

Kết quả

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1

đơn vị

Khoảng cách có dấu	-1
√(a² + b²)	5

Công cụ này dùng để làm gì

Công cụ giúp bạn tìm khoảng cách ngắn nhất (khoảng cách vuông góc) từ một điểm (x₀, y₀) đến một đường thẳng viết ở dạng tổng quát ax + by + c = 0. Khoảng cách ngắn nhất luôn được đo dọc theo đoạn vuông góc hạ từ điểm xuống đường thẳng, và kết quả là một số dương duy nhất, cùng đơn vị với tọa độ bạn nhập. Đây là công cụ hình học thuần túy nên áp dụng được cho mọi hệ tọa độ hay đơn vị bất kỳ.

Cách sử dụng

Trước tiên hãy viết đường thẳng về dạng tổng quát. Nếu bạn đang có phương trình ở dạng hệ số góc \(y = mx + k\), hãy biến đổi thành \(mx - y + k = 0\), khi đó \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\). Nhập các hệ số \(a\), \(b\) và \(c\), sau đó nhập tọa độ \(x_0\) và \(y_0\) của điểm. Bấm tính toán để xem khoảng cách vuông góc, khoảng cách có dấu (giữ nguyên dấu) và giá trị \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).

Giải thích công thức

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) có vectơ \((a, b)\) là vectơ pháp tuyến. Biểu thức \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\) cho biết điểm nằm cách đường thẳng bao xa theo hướng pháp tuyến, nhưng giá trị này đã bị nhân thêm độ dài của vectơ pháp tuyến. Khi chia cho \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), ta chuẩn hóa lại để kết quả là một khoảng cách thực sự. Lấy giá trị tuyệt đối sẽ cho khoảng cách vuông góc không dấu:

$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$

Quảng cáo

Khoảng cách \(d\) là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đến đường thẳng.

Ví dụ minh họa

Đường thẳng: \(3x + 4y - 5 = 0\), vậy \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -5\). Điểm: \((0, 0)\). Tử số \(= |3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5| = |-5| = 5\). Mẫu số \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Khoảng cách:

$$d = \frac{5}{5} = 1$$

Câu hỏi thường gặp

Khoảng cách có dấu nghĩa là gì? Giá trị có dấu dương hay âm cho bạn biết điểm nằm ở phía nào của đường thẳng; hai điểm nằm ở hai phía đối diện sẽ có dấu ngược nhau.

Nếu cả a và b đều bằng 0 thì sao? Khi đó \(ax + by + c = 0\) không phải là một đường thẳng hợp lệ và khoảng cách không xác định — công cụ trả về 0 để tránh phép chia cho 0.

Có dùng được trong không gian 3 chiều không? Không, công thức này dành cho điểm và đường thẳng trong mặt phẳng 2 chiều. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian 3D phải dùng công thức tích có hướng (tích chéo).