ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة العمودية) من نقطة (x₀, y₀) إلى مستقيم مكتوب بالصيغة العامة ax + by + c = 0. تُقاس أقصر مسافة دائمًا على طول العمود المُسقَط من النقطة إلى المستقيم، وهي قيمة موجبة واحدة بالوحدات نفسها المستخدمة في إحداثياتك. والحاسبة أداة هندسية بحتة، لذا تعمل مع أي نظام إحداثيات أو أي وحدة قياس.
طريقة الاستخدام
اكتب أولًا معادلة المستقيم بالصيغة العامة. فإذا كانت لديك صيغة الميل والمقطع y = mx + k، فأعِد ترتيبها لتصبح mx − y + k = 0، بحيث يكون \(a = m\)، و\(b = -1\)، و\(c = k\). أدخل المعاملات a وb وc، ثم أدخل إحداثيي النقطة x₀ وy₀. اضغط على «احسب» لتظهر لك المسافة العمودية، والمسافة ذات الإشارة (التي تحتفظ بالإشارة)، وقيمة \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).
شرح القانون
المستقيم ax + by + c = 0 يكون المتجه \((a, b)\) هو متجهه العمودي (الناظم). والمقدار \(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c\) يقيس مدى بُعد النقطة على طول هذا المتجه الناظم، لكنه مقاس بمقياس طول المتجه الناظم. وعند القسمة على \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) نقوم بتوحيد المقياس فتصبح النتيجة مسافة حقيقية. وبأخذ القيمة المطلقة نحصل على المسافة العمودية بدون إشارة:
$$d = \frac{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
مثال محلول
المستقيم: 3x + 4y − 5 = 0، إذًا \(a = 3\)، و\(b = 4\)، و\(c = -5\). النقطة: \((0, 0)\). البسط \(= \left| 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 5 \right| = \left| -5 \right| = 5\). المقام \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). المسافة:
$$d = \frac{5}{5} = \mathbf{1}$$
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني المسافة ذات الإشارة؟ القيمة الموجبة أو السالبة تخبرك بأي جانب من المستقيم تقع النقطة؛ فالنقاط الواقعة على جانبين متقابلين تكون إشاراتها متعاكسة.
ماذا لو كان كلٌّ من a وb يساوي صفرًا؟ عندها لا تمثّل المعادلة ax + by + c = 0 مستقيمًا صحيحًا وتكون المسافة غير معرَّفة، ولذلك تُرجِع الحاسبة القيمة 0 لتجنّب القسمة على صفر.
هل يمكنني استخدام هذا في الفضاء ثلاثي الأبعاد؟ لا، فهذا القانون مخصص للنقطة والمستقيم في المستوى ثنائي الأبعاد. أما المسافة من نقطة إلى مستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد فتُحسب باستخدام قانون الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي).
