ما هي الدائرة الداخلية للمثلث؟
الدائرة الداخلية هي أكبر دائرة يمكن أن تُرسم داخل المثلث بحيث تمسّ أضلاعه الثلاثة جميعًا. ويُسمّى مركزها «المركز الداخلي» وهو نقطة تقاطع منصّفات الزوايا، بينما يُطلق على نصف قطرها اسم نصف القطر الداخلي ويُرمز له بالرمز \(r\). تحسب هذه الأداة نصف القطر الداخلي وما يرتبط به من قياسات الدائرة الداخلية مباشرةً من أطوال الأضلاع الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\).
طريقة الاستخدام
أدخِل أطوال أضلاع المثلث الثلاثة بأي وحدة قياس موحّدة. تتحقق الحاسبة أولًا من صحة المثلث، ثم تُعيد نصف القطر الداخلي \(r\) إضافةً إلى مساحة المثلث ونصف محيطه ومساحة الدائرة الداخلية ومحيطها. تأكّد من أن أضلاعك الثلاثة تشكّل مثلثًا فعليًا: يجب أن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين.
شرح الصيغة الرياضية
يأتي نصف القطر الداخلي من علاقة أنيقة: مساحة المثلث تساوي نصف قطره الداخلي مضروبًا في نصف محيطه، أي \(r = \text{المساحة} / s\). ونصف المحيط هو \(s = (a + b + c) / 2\). أما المساحة فتُحسب بصيغة هيرون:
$$\text{المساحة} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$وهي صيغة لا تحتاج سوى أطوال الأضلاع — دون الحاجة إلى الزوايا أو الارتفاع.
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية بأبعاد 3-4-5. يكون نصف المحيط
$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$وتعطينا صيغة هيرون
$$\text{المساحة} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$وبالتالي يكون نصف القطر الداخلي
$$r = \frac{6}{6} = 1$$أما مساحة الدائرة الداخلية فهي \(\pi \cdot 1^2 \approx 3.1416\) ومحيطها \(2\pi \cdot 1 \approx 6.2832\).
الأسئلة الشائعة
ما الوحدات التي تستخدمها النتيجة؟ الوحدات نفسها التي تُدخل بها الأضلاع: يشترك نصف القطر الداخلي في وحدة الطول ذاتها، بينما تُقاس المساحة بالوحدات المربّعة.
لماذا أحصل على صفر أو لا أحصل على نتيجة؟ لأن الأضلاع لا تحقق متباينة المثلث، فلا يوجد مثلث صحيح (ومن ثَمّ لا توجد دائرة داخلية).
ما الفرق بين هذه والدائرة المحيطة؟ تقع الدائرة الداخلية داخل المثلث وتمسّ أضلاعه، أما الدائرة المحيطة فتمرّ بالرؤوس الثلاثة جميعًا وتُحسب بالعلاقة \(R = abc / (4 \cdot \text{المساحة})\).
