¿Qué es el incírculo de un triángulo?
El incírculo es la mayor circunferencia que cabe dentro de un triángulo y que toca sus tres lados. Su centro es el incentro (el punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos) y su radio recibe el nombre de inradio, que se representa con la letra \(r\). Esta calculadora obtiene el inradio y otras medidas del incírculo directamente a partir de las longitudes de los tres lados \(a\), \(b\) y \(c\).
Cómo utilizarla
Introduce las longitudes de los tres lados del triángulo usando siempre la misma unidad. La calculadora comprueba primero que el triángulo sea válido y, a continuación, te devuelve el inradio \(r\) junto con el área del triángulo, su semiperímetro y el área y la circunferencia del incírculo. Asegúrate de que los tres lados forman realmente un triángulo: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.
La fórmula explicada
El inradio surge de una elegante identidad: el área de un triángulo es igual a su inradio multiplicado por su semiperímetro, de modo que \(r = \text{Área} / s\). El semiperímetro es \(s = (a + b + c) / 2\). El área se calcula con la fórmula de Herón,
$$\text{Área} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$$que solo necesita las longitudes de los lados, sin requerir ángulos ni alturas.
Ejemplo resuelto
Tomemos un triángulo rectángulo de 3-4-5. El semiperímetro es
$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$La fórmula de Herón da
$$\text{Área} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$Por tanto, el inradio es
$$r = \frac{6}{6} = 1$$El área del incírculo es \(\pi \cdot 1^2 \approx 3{,}1416\) y su circunferencia es \(2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832\).
Preguntas frecuentes
¿Qué unidades tiene el resultado? Las mismas en las que introduzcas los lados: el inradio comparte la unidad de longitud y el área se expresa en unidades cuadradas.
¿Por qué obtengo cero o ningún resultado? Porque los lados no cumplen la desigualdad triangular, así que no existe ningún triángulo válido (ni, por tanto, su incírculo).
¿En qué se diferencia del circuncírculo? El incírculo se sitúa dentro del triángulo tocando sus lados; el circuncírculo pasa por los tres vértices y se calcula con \(R = abc / (4 \cdot \text{Área})\).
