什麼是三角形的內切圓？
內切圓是能完全塞進三角形內部、並同時與三邊相切的最大圓。它的圓心稱為內心（也就是三條角平分線的交點），而它的半徑就叫做內切圓半徑，通常以 \(r\) 表示。這個計算機可以直接從三邊長 \(a\)、\(b\)、\(c\)，算出內切圓半徑以及相關的內切圓數值。
使用方法
請以一致的單位輸入三角形的三邊長。計算機會先確認這組邊長是否能構成有效三角形，接著回傳內切圓半徑 \(r\)，並一併列出三角形面積、半周長，以及內切圓的面積與周長。請務必確認三邊真的能組成三角形：任一邊都必須小於另外兩邊之和。
公式解析
內切圓半徑來自一個簡潔的恆等式：三角形的面積等於內切圓半徑乘以半周長，因此 \(r = \text{面積} / s\)。其中半周長為 \(s = (a + b + c) / 2\)。面積則用海龍公式求得：
$$\text{面積} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$$這個公式只需要三邊長，完全不必知道角度或高。
實例演算
以 3-4-5 直角三角形為例。半周長為 $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$ 代入海龍公式得面積 $$\text{面積} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ 因此內切圓半徑 $$r = \frac{6}{6} = 1$$ 內切圓面積為 \(\pi \cdot 1^2 \approx 3.1416\)，周長則為 \(2\pi \cdot 1 \approx 6.2832\)。
常見問題
計算結果用什麼單位？跟你輸入邊長時用的單位一樣：內切圓半徑沿用相同的長度單位，面積則使用對應的平方單位。
為什麼算出來是零或沒有結果？因為這組邊長不符合三角形不等式，無法構成有效的三角形，自然也就沒有內切圓。
內切圓和外接圓有什麼不同？內切圓位於三角形內部、與三邊相切；外接圓則通過三個頂點，半徑公式為 \(R = abc / (4 \cdot \text{面積})\)。
