삼각형 내접원이란?
내접원은 삼각형 안에 들어갈 수 있는 가장 큰 원으로, 세 변에 모두 접합니다. 원의 중심은 내심(세 각의 이등분선이 만나는 점)이며, 반지름은 내접원 반지름이라 부르고 보통 \(r\)로 나타냅니다. 이 계산기는 세 변의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)만으로 내접원 반지름과 관련 수치를 바로 구해 줍니다.
사용 방법
삼각형의 세 변 길이를 같은 단위로 입력하세요. 계산기는 먼저 삼각형이 성립하는지 확인한 다음, 내접원 반지름 \(r\)과 함께 삼각형의 넓이, 반둘레(\(s\)), 그리고 내접원의 넓이와 둘레를 알려 줍니다. 세 변이 실제로 삼각형을 이루는지 꼭 확인하세요. 한 변의 길이는 항상 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다.
공식 풀이
내접원 반지름은 간단한 항등식에서 나옵니다. 삼각형의 넓이는 내접원 반지름과 반둘레의 곱과 같으므로, \(r = \text{넓이} / s\) 가 됩니다. 반둘레는 다음과 같습니다.
$$s = \frac{a + b + c}{2}$$넓이는 헤론의 공식으로 구하는데, 각도나 높이 없이 세 변의 길이만 있으면 됩니다.
$$\text{넓이} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$$이로부터 내접원 반지름이 나옵니다.
$$r = \frac{\sqrt{s\,(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$$
예제로 풀어보기
변의 길이가 3-4-5인 직각삼각형을 예로 들어 봅시다. 반둘레는 \(s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\) 입니다. 헤론의 공식으로 다음이 나옵니다.
$$\text{넓이} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$따라서 내접원 반지름은 \(r = 6 / 6 = 1\) 입니다. 내접원 넓이는 \(\pi \cdot 1^2 \approx 3.1416\), 둘레는 \(2\pi \cdot 1 \approx 6.2832\) 입니다.
자주 묻는 질문
결과의 단위는 무엇인가요? 변을 입력한 단위 그대로입니다. 내접원 반지름은 같은 길이 단위를, 넓이는 그 단위의 제곱을 사용합니다.
왜 0이 나오거나 결과가 없나요? 입력한 변들이 삼각형 부등식을 만족하지 않아 유효한 삼각형(과 내접원)이 존재하지 않기 때문입니다.
외접원과는 어떻게 다른가요? 내접원은 삼각형 안쪽에서 세 변에 접하는 원이고, 외접원은 세 꼭짓점을 모두 지나는 원으로 \(R = abc / (4 \cdot \text{넓이})\) 공식을 씁니다.
