什么是三角形的内切圆？
内切圆是能够完全装进三角形内部、并同时与三条边相切的最大圆。它的圆心叫做内心（也就是三条内角平分线的交点），半径则称为内切圆半径，通常记作 \(r\)。本计算器只需你提供三条边长 \(a\)、\(b\)、\(c\)，就能直接算出内切圆半径以及与内切圆相关的各项数据。
如何使用
用任意统一的单位输入三角形的三条边长即可。计算器会先判断这三条边能否构成有效的三角形，然后输出内切圆半径 \(r\)，并附带三角形的面积、半周长，以及内切圆的面积和周长。请确保三条边确实能围成一个三角形：任意一条边都必须小于另外两条边之和。
公式详解
内切圆半径源自一个简洁的恒等式：三角形的面积等于内切圆半径乘以半周长，因此 \(r = \text{面积} / s\)。其中半周长为 \(s = (a + b + c) / 2\)。面积则由海伦公式求得：
$$\text{面积} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$$只需要三条边长，既不用角度，也不用高。
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实例演示
以一个 3-4-5 的直角三角形为例。半周长 \(s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\)。代入海伦公式得面积
$$\text{面积} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$于是内切圆半径 \(r = 6 / 6 = 1\)。内切圆面积为 \(\pi \cdot 1^2 \approx 3.1416\)，周长为 \(2\pi \cdot 1 \approx 6.2832\)。
常见问题
计算结果用的是什么单位？ 与你输入边长时使用的单位一致：内切圆半径采用相同的长度单位，面积则使用相应的平方单位。
为什么结果是零或没有结果？ 说明这几条边不满足三角形不等式，无法构成有效的三角形，自然也就不存在内切圆。
它和外接圆有什么区别？ 内切圆位于三角形内部、与三条边相切；外接圆则经过三角形的三个顶点，其半径公式为 \(R = abc / (4 \cdot \text{面积})\)。
