什么是 30-60-90 三角形？
30-60-90 三角形是一种特殊的直角三角形，它的三个内角分别正好是 30°、60° 和 90°。由于角度固定不变，三条边之间始终保持相同的比例。如果短直角边（30° 角所对的边）长度为 \(x\)，那么长直角边（60° 角所对的边）就是 \(x\sqrt{3}\)，斜边（90° 角所对的边）则是 \(2x\)。正是这个 \(1 : \sqrt{3} : 2\) 的固定比例，让我们只要知道一条边，就能求出整个三角形。
如何使用这个计算器
先选择你已知的是哪一条边——短直角边、长直角边还是斜边，然后填入它的长度。计算器会先算出短直角边 \(x\)，再依次推导出其余所有数据：另外两条边、面积和周长。只要单位保持一致（厘米、米、英寸、英尺均可），输入任何正数都能得到结果。
公式详解
所有计算都以短直角边 \(x\) 为基准。已知长直角边时，\(x = 长直角边 \div \sqrt{3}\)；已知斜边时，\(x = 斜边 \div 2\)。然后：长直角边 \(= x\sqrt{3}\)，斜边 \(= 2x\)，面积 \(= \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\)，周长 $$x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})$$。
实例演算
假设短直角边为 5，那么：长直角边 $$= 5 \times \sqrt{3} \approx 8.66$$，斜边 $$= 2 \times 5 = 10$$，面积 $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21.65$$，周长 $$\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66$$。
30-60-90直角三角形边长比参考表
在每个30-60-90直角三角形中，三条边保持固定的比例\(1 : \sqrt{3} : 2\)。如果短边（与30°角相对）为\(a\)，那么长边（与60°角相对）为\(a\sqrt{3}\)，斜边（与90°角相对）为\(2a\)。面积为\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\)，周长为\(a(3+\sqrt{3})\)。下表列出了几个常见短边长度的精确值和近似值（使用\(\sqrt{3}\approx1.732\)）。
| 短边\(a\) | 长边\(a\sqrt{3}\) | 斜边\(2a\) | 面积\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | 周长\(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
每一行都是线性缩放的：将短边加倍会使每条边和周长加倍，但会使面积增加四倍（因为面积取决于\(a^{2}\)）。
常见问题
哪一条是短直角边？短直角边永远是最小角（30°）所对的那条边，也是三条边中最短的一条。
可以输入斜边吗？可以。在菜单中选择"斜边"，计算器会先把它除以 2 求出短直角边，再重建整个三角形。
长直角边是短直角边的两倍吗？不是——这是一个常见的误区。是斜边为短直角边的两倍；长直角边则是短直角边的 \(\sqrt{3}\)（约 1.732）倍。
