三角形中线计算器

数学公式

Show calculation steps (2)

结果

指向边 a 的中线 (mₐ)

8.544

长度单位

什么是三角形的中线？

三角形的中线是指连接一个顶点与其对边中点的线段。任意三角形都恰好有三条中线，它们交于同一点，这一点称为重心。重心把每条中线分成 2∶1 的两段。本计算器可直接根据三条边长 a、b、c，求出全部三条中线的长度。

在"边 a""边 b""边 c"对应的输入框中填入三角形的三条边长。三条边请使用相同的单位（厘米、米或英寸均可——计算结果会以同一单位输出）。点击计算，即可得到指向每条边的中线长度。中线 m_a 是指向边 a 的那一条，m_b 指向边 b，m_c 指向边 c。

指向边 a 的中线长度由阿波罗尼奥斯定理（Apollonius 定理）给出：

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}$$

由对称性，另外两条中线只需交换各边的角色：

$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}} \quad \text{以及} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}$$

请注意：指向边 c 的中线用到的是边 a 与边 b 的平方，而不是 c——被减去的那条边，正是中线所指向的那条边。

以一个三边为 $a = 6$、$b = 8$、$c = 10$ 的直角三角形为例：

$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^{2} + 2\cdot 8^{2} - 10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5$$

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8.544$$

$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7.211$$

三条中线一定会交于一点吗？会。它们始终相交于重心，而重心正是三角形的质心（重心）。

如果输入的数值无法构成有效三角形怎么办？根号下的表达式必须为正值。若边长组合无法构成三角形，计算器将返回 0。

中线和高线、角平分线是一回事吗？不是。中线连接顶点与对边的中点；高线则垂直于对边；角平分线则平分该顶点的内角。三者只有在等边三角形等特殊情形下才会重合。