ما هو متوسط المثلث؟
المتوسط في المثلث هو القطعة المستقيمة التي تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له. لكل مثلث ثلاثة متوسطات بالضبط، وتتقاطع جميعها في نقطة واحدة تُسمى مركز الثقل (Centroid)، وهي النقطة التي تقسم كل متوسط بنسبة 2:1. تحسب هذه الأداة أطوال المتوسطات الثلاثة جميعها مباشرةً انطلاقًا من أطوال الأضلاع a وb وc.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أطوال أضلاع المثلث الثلاثة في الحقول المخصصة: الضلع a، والضلع b، والضلع c. استخدم وحدة قياس موحّدة (سنتيمتر، متر، أو بوصة — وستظهر النتيجة بالوحدة نفسها). اضغط على زر الحساب لتحصل على المتوسط المقابل لكل ضلع. فالمتوسط \(m_a\) هو المرسوم إلى الضلع a، والمتوسط \(m_b\) إلى الضلع b، والمتوسط \(m_c\) إلى الضلع c.
شرح الصيغة الرياضية
يُعطى طول المتوسط المقابل للضلع a وفقًا لنظرية أبولونيوس على النحو التالي:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{b}^{2} + 2\,\text{c}^{2} - \text{a}^{2}}$$
وبفضل التماثل، يتبادل المتوسطان الآخران أدوار الأضلاع:
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{a}^{2} + 2\,\text{c}^{2} - \text{b}^{2}} \quad \text{و} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\,\text{a}^{2} + 2\,\text{b}^{2} - \text{c}^{2}}$$
لاحظ أن المتوسط المقابل للضلع c يستخدم مربعَي الضلعين a وb، وليس c — فالضلع المرسوم إليه المتوسط هو الضلع الذي يُطرح مربعه.
مثال تطبيقي محلول
لنأخذ مثلثًا قائم الزاوية أطوال أضلاعه a = 6، وb = 8، وc = 10:
$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^2 + 2\cdot 8^2 - 10^2} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5.$$
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8.544.$$
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7.211.$$
الأسئلة الشائعة
هل تلتقي المتوسطات الثلاثة دائمًا في نقطة واحدة؟ نعم — تتقاطع دائمًا عند مركز الثقل، وهو مركز كتلة المثلث.
ماذا لو كانت القيم التي أدخلتها لا تكوّن مثلثًا صحيحًا؟ يجب أن يكون المقدار الواقع تحت الجذر التربيعي موجبًا. وفي حالة تركيبات الأضلاع المستحيلة، تُرجع الحاسبة القيمة 0.
هل المتوسط هو نفسه الارتفاع أو منصف الزاوية؟ لا. فالمتوسط يصل إلى منتصف الضلع المقابل، بينما الارتفاع عمودي عليه، أما منصف الزاوية فيقسم الزاوية إلى نصفين. ولا تتطابق هذه الخطوط إلا في حالات خاصة مثل المثلث متساوي الأضلاع.
