¿Qué es la mediana de un triángulo?
La mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene exactamente tres medianas, y todas se cortan en un mismo punto llamado baricentro (o centroide), que divide cada mediana en una razón de 2:1. Esta calculadora obtiene la longitud de las tres medianas directamente a partir de los tres lados a, b y c.
Cómo usar la calculadora
Introduce las longitudes de los tres lados de tu triángulo en los campos Lado a, Lado b y Lado c. Puedes usar cualquier unidad, siempre que sea la misma para todos (cm, m, pulgadas… el resultado se expresa en esa misma unidad). Pulsa calcular y obtendrás la mediana correspondiente a cada lado. La mediana \(m_a\) es la que se traza hacia el lado a, \(m_b\) hacia el lado b y \(m_c\) hacia el lado c.
La fórmula, paso a paso
La longitud de la mediana hacia el lado a se obtiene mediante el teorema de Apolonio:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}$$
Por simetría, las otras dos medianas intercambian el papel de los lados:
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}} \quad \text{y} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}$$
Fíjate en que la mediana hacia el lado c usa los cuadrados de los lados a y b, NO el de c: el lado al que se traza la mediana es siempre el que se resta.
Ejemplo resuelto
Para un triángulo rectángulo con lados a = 6, b = 8, c = 10:
$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^{2} + 2\cdot 8^{2} - 10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5.$$
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8{,}544.$$
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7{,}211.$$
Preguntas frecuentes
¿Las tres medianas siempre se cortan en un mismo punto? Sí. Siempre se cruzan en el baricentro, que es el centro de masa del triángulo.
¿Y si mis valores no forman un triángulo válido? La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser positiva. Si los lados no pueden formar un triángulo, la calculadora devuelve 0.
¿La mediana es lo mismo que la altura o la bisectriz? No. La mediana llega al punto medio del lado opuesto, mientras que la altura es perpendicular a ese lado y la bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales. Solo coinciden en casos especiales, como el triángulo equilátero.
