¿Qué es un triángulo 30-60-90?
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial cuyos ángulos interiores miden exactamente 30°, 60° y 90°. Como los ángulos son fijos, sus tres lados mantienen siempre la misma proporción. Si el cateto menor (el lado opuesto al ángulo de 30°) mide x, entonces el cateto mayor (opuesto a 60°) mide \(x\sqrt{3}\) y la hipotenusa (opuesta a 90°) mide \(2x\). Esta razón \(1 : \sqrt{3} : 2\) te permite resolver todo el triángulo conociendo un solo lado.
Cómo usar esta calculadora
Elige el lado que ya conoces —el cateto menor, el cateto mayor o la hipotenusa— y escribe su longitud. La calculadora primero halla el cateto menor x y, a partir de ahí, deduce todas las demás medidas: los lados restantes, el área y el perímetro. Funciona con cualquier número positivo y cualquier unidad (cm, m, pulgadas, pies), siempre que la uses de forma coherente.
La fórmula explicada
Todo se apoya en el cateto menor x. Si conoces el cateto mayor, \(x = \text{mayor} \div \sqrt{3}\); si conoces la hipotenusa, \(x = \text{hipotenusa} \div 2\). Después, las relaciones completas son:
$$\text{menor} : \text{mayor} : \text{hip} = x : x\sqrt{3} : 2x$$cateto mayor = \(x\sqrt{3}\), hipotenusa = \(2x\), área = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\) y perímetro = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que el cateto menor es 5. Entonces:
$$\text{cateto mayor} = 5 \times \sqrt{3} \approx 8{,}66$$$$\text{hipotenusa} = 2 \times 5 = 10$$$$\text{área} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21{,}65$$$$\text{perímetro} \approx 5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66$$Tabla de Referencia de Razones de Lados 30-60-90
En todo triángulo rectángulo 30-60-90, los tres lados mantienen la razón fija \(1 : \sqrt{3} : 2\). Si el cateto corto (opuesto al ángulo de 30°) es \(a\), entonces el cateto largo (opuesto a 60°) es \(a\sqrt{3}\) y la hipotenusa (opuesta al ángulo de 90°) es \(2a\). El área es \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) y el perímetro es \(a(3+\sqrt{3})\). La tabla siguiente enumera valores exactos y aproximados (usando \(\sqrt{3}\approx1.732\)) para varios catetos cortos comunes.
| Cateto corto \(a\) | Cateto largo \(a\sqrt{3}\) | Hipotenusa \(2a\) | Área \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | Perímetro \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
Cada fila se escala linealmente: duplicar el cateto corto duplica todos los lados y el perímetro, pero cuadruplica el área (ya que el área depende de \(a^{2}\)).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el cateto menor? El cateto menor es siempre el lado opuesto al ángulo más pequeño, el de 30°. Es el más corto de los tres lados.
¿Puedo introducir la hipotenusa? Sí. Selecciona «Hipotenusa» en el menú; la calculadora la divide entre 2 para obtener el cateto menor y reconstruye todo el triángulo.
¿El cateto mayor es el doble del menor? No, es un error frecuente. Lo que mide el doble del cateto menor es la hipotenusa; el cateto mayor mide \(\sqrt{3}\) (≈1,732) veces el cateto menor.
