¿Qué es una terna pitagórica?
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos \((a, b, c)\) que cumplen el teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). El ejemplo más conocido es \((3, 4, 5)\), ya que \(9 + 16 = 25\). Estas ternas describen triángulos rectángulos cuyos tres lados miden números enteros, algo muy útil en geometría, teoría de números, construcción y trigonometría.
Cómo usar esta calculadora
Introduce dos números enteros, \(m\) y \(n\), donde \(m\) sea mayor que \(n\) y ambos sean mayores que cero. Pulsa calcular y la herramienta aplica la fórmula de Euclides para obtener al instante una terna válida \((a, b, c)\). Además muestra \(a^2\), \(b^2\) y \(a^2 + b^2\), de modo que puedas verificar que el resultado coincide con \(c^2\).
La fórmula al detalle
La fórmula de Euclides establece que, para cualesquiera enteros \(m > n > 0\):
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$
Al sustituir estos valores en \(a^2 + b^2\) obtenemos $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,$$ que es precisamente \(c^2\). Esto demuestra que todo par \((m, n)\) genera una auténtica terna pitagórica. Cuando \(m\) y \(n\) son coprimos y no son ambos impares, la terna es primitiva (sus términos no comparten ningún factor común).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(m = 2\) y \(n = 1\). Entonces $$a = 2^2 - 1^2 = 3, \quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4, \quad c = 2^2 + 1^2 = 5.$$ La terna es \((3, 4, 5)\) y, en efecto, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué m debe ser mayor que n? Si \(m \le n\), el valor \(a = m^2 - n^2\) sería cero o negativo, y eso no puede corresponder a la longitud del lado de un triángulo.
¿Genera todas las ternas? La fórmula de Euclides (junto con un factor de escala) genera todas las ternas pitagóricas. Un único par \((m, n)\) produce una terna primitiva o escalada cada vez.
¿Qué es una terna primitiva? Una terna primitiva es aquella en la que \(a\), \(b\) y \(c\) no tienen ningún divisor común distinto de 1, como \((3, 4, 5)\) o \((5, 12, 13)\).
