ピタゴラス数とは？
ピタゴラス数とは、ピタゴラスの定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) を満たす3つの正の整数の組(a, b, c)のことです。最も有名な例は(3, 4, 5)で、\(9 + 16 = 25\) が成り立ちます。これらの数の組は、3辺の長さがすべて整数になる直角三角形を表しており、幾何学・整数論・建築・三角法などさまざまな分野で重要な役割を果たします。
この計算機の使い方
2つの整数 \(m\) と \(n\) を入力します。条件は \(m\) が \(n\) より大きく、どちらも0より大きいことです。「計算する」を押すと、ユークリッドの公式を適用して有効なピタゴラス数(a, b, c)を瞬時に生成します。さらに \(a^2\)、\(b^2\)、\(a^2 + b^2\) も表示されるため、その合計が \(c^2\) と等しいことをその場で確認できます。
公式のしくみ
ユークリッドの公式によれば、\(m > n > 0\) を満たす任意の整数について、次の関係が成り立ちます。
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$
これらを \(a^2 + b^2\) に代入すると、$$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2 n^2 + n^4 + 4m^2 n^2 = m^4 + 2m^2 n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$$ となり、これは \(c^2\) に等しくなります。つまり、どんな(m, n)の組み合わせからも正真正銘のピタゴラス数が得られるのです。なお、\(m\) と \(n\) が互いに素で、かつ両方が奇数でない場合、得られる組は「原始ピタゴラス数」（3つの数に1以外の共通因数がない組）になります。
計算例
\(m = 2\)、\(n = 1\) としてみましょう。すると $$a = 2^2 - 1^2 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 2^2 + 1^2 = 5$$ となります。組は(3, 4, 5)であり、実際に \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) が成り立ちます。
よくある質問
なぜ \(m\) は \(n\) より大きくなければならないのですか？ \(m \le n\) の場合、\(a = m^2 - n^2\) が0または負の値になってしまい、三角形の辺の長さとして成り立たないからです。
この公式ですべてのピタゴラス数が得られますか？ ユークリッドの公式は（倍率をかける操作と組み合わせれば）すべてのピタゴラス数を生成できます。ただし1組の(m, n)から得られるのは、その都度1つの原始ピタゴラス数またはその整数倍の組です。
原始ピタゴラス数とは何ですか？ \(a\)、\(b\)、\(c\) が1以外に共通の約数を持たない組のことで、(3, 4, 5) や (5, 12, 13) などが該当します。
