ما هي الثلاثية الفيثاغورية؟
الثلاثية الفيثاغورية هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة (أ، ب، ج) تحقّق نظرية فيثاغورس: \(a^2 + b^2 = c^2\). وأشهر مثال عليها هو (3، 4، 5)، إذ إن \(9 + 16 = 25\). تمثّل هذه الثلاثيات مثلثات قائمة الزاوية تكون أطوال أضلاعها الثلاثة جميعها أعدادًا صحيحة، ما يجعلها ذات أهمية كبيرة في الهندسة ونظرية الأعداد والبناء وحساب المثلثات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عددين صحيحين، m وn، بحيث يكون m أكبر من n وكلاهما أكبر من الصفر. اضغط على زر الحساب، فتطبّق الأداة صيغة إقليدس لتنتج فورًا ثلاثية صحيحة (أ، ب، ج). كما تعرض لك قيم \(a^2\) و\(b^2\) ومجموع \(a^2 + b^2\) لتتأكد بنفسك من أن الناتج يساوي \(c^2\).
شرح الصيغة
تنص صيغة إقليدس على أنه لأي عددين صحيحين \(m > n > 0\):
$$(a,\,b,\,c) = \left(m^2 - n^2,\ \ 2\,m\,n,\ \ m^2 + n^2\right)$$
وبالتعويض عن هذه القيم في \(a^2 + b^2\) نحصل على $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,$$ وهو ما يساوي \(c^2\). يثبت ذلك أن كل زوج (m، n) يولّد ثلاثية فيثاغورية حقيقية. وعندما يكون m وn أوّليين فيما بينهما وليسا فرديين معًا، تكون الثلاثية أوّلية (لا تشترك حدودها في أي عامل مشترك).
مثال محلول
لنفترض أن \(m = 2\) وn = 1. عندئذٍ تكون $$a = 2^2 - 1^2 = 3,$$ $$b = 2 \times 2 \times 1 = 4,$$ $$c = 2^2 + 1^2 = 5.$$ فتكون الثلاثية (3، 4، 5)، وبالفعل فإن \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون m أكبر من n؟ إذا كان \(m \le n\)، فإن قيمة \(a = m^2 - n^2\) ستكون صفرًا أو سالبة، وهذا لا يمكن أن يمثّل طول ضلع في مثلث.
هل تعطي هذه الصيغة كل الثلاثيات؟ نعم، تولّد صيغة إقليدس (مع معامل قياس) جميع الثلاثيات الفيثاغورية. لكن كل زوج (m، n) على حدة يعطي ثلاثية أوّلية أو مُكبّرة واحدة في كل مرة.
ما هي الثلاثية الأوّلية؟ الثلاثية الأوّلية هي التي لا تشترك فيها الأعداد أ وب وج في أي قاسم مشترك غير الواحد، مثل (3، 4، 5) أو (5، 12، 13).
