什麼是畢氏三元數？
畢氏三元數是指三個滿足畢氏定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 的正整數 (a, b, c)。最經典的例子就是 (3, 4, 5)，因為 \(9 + 16 = 25\)。這樣的三元數代表三邊長都是整數的直角三角形，因此在幾何學、數論、建築工程與三角函數中都扮演重要角色。
如何使用本計算器
請輸入兩個整數 m 與 n，其中 m 必須大於 n，且兩者皆大於零。按下計算後，工具會套用歐幾里得公式，立即產生一組有效的三元數 (a, b, c)。同時也會顯示 \(a^2\)、\(b^2\) 與 \(a^2 + b^2\) 的數值，方便你確認結果是否等於 \(c^2\)。
公式解析
歐幾里得公式指出，對於任意整數 m > n > 0：
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$
將這些代入 \(a^2 + b^2\) 可得 $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,$$ 正好等於 \(c^2\)。這證明了每一組 (m, n) 都能產生一組真正的畢氏三元數。當 m 與 n 互質且不同時為奇數時，所得的三元數即為「原始三元數」（各項之間沒有共同因數）。
實例演練
設 m = 2、n = 1。則 \(a = 2^2 - 1^2 = 3\)、\(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\)、\(c = 2^2 + 1^2 = 5\)。所得三元數為 (3, 4, 5)，而 $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2,$$ 完全成立。
常見問題
為什麼 m 一定要大於 n？若 m ≤ n，則 \(a = m^2 - n^2\) 會為零或負數，無法作為三角形的邊長。
這能產生所有的三元數嗎？歐幾里得公式（搭配一個縮放倍率）可以產生所有的畢氏三元數。單一組 (m, n) 每次只會得到一組原始三元數或其縮放後的版本。
什麼是原始三元數？原始三元數是指 a、b、c 之間除了 1 以外沒有其他共同因數的三元數，例如 (3, 4, 5) 或 (5, 12, 13)。
