피타고라스 수란?
피타고라스 수는 피타고라스 정리 \(a^2 + b^2 = c^2\)을 만족하는 세 자연수 (a, b, c)의 묶음을 말합니다. 가장 유명한 예가 바로 (3, 4, 5)인데, \(9 + 16 = 25\)로 정확히 맞아떨어집니다. 이런 수의 조합은 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형을 나타내며, 기하학과 정수론은 물론 건축, 삼각함수 등 다양한 분야에서 중요하게 쓰입니다.
계산기 사용 방법
두 자연수 m과 n을 입력합니다. 이때 m은 n보다 커야 하고, 둘 다 0보다 커야 합니다. 계산 버튼을 누르면 유클리드 공식이 적용되어 유효한 세 변 (a, b, c)이 즉시 산출됩니다. 또한 \(a^2\), \(b^2\), 그리고 \(a^2 + b^2\) 값을 함께 보여 주므로, 그 결과가 \(c^2\)과 같은지 직접 확인할 수 있습니다.
공식 풀어 보기
유클리드 공식에 따르면, \(m > n > 0\)인 모든 정수에 대해 다음이 성립합니다.
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$이 값들을 \(a^2 + b^2\)에 대입하면 \((m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2\)가 되고, 이는 \(c^2\)과 같습니다. 즉 모든 (m, n) 쌍이 진짜 피타고라스 수를 만들어 낸다는 사실이 증명됩니다. 또한 m과 n이 서로소이면서 둘 다 홀수가 아닐 때, 그 결과는 기약 피타고라스 수(세 항이 공통 약수를 갖지 않는 수)가 됩니다.
예제로 보기
m = 2, n = 1이라고 해 봅시다. 그러면 \(a = 2^2 - 1^2 = 3\), \(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\), \(c = 2^2 + 1^2 = 5\)가 됩니다. 따라서 세 변은 (3, 4, 5)이며, 실제로 \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)로 정확히 맞아떨어집니다.
자주 묻는 질문
왜 m이 n보다 커야 하나요? \(m \le n\)이면 \(a = m^2 - n^2\)의 값이 0이거나 음수가 되는데, 이런 값은 삼각형의 변 길이가 될 수 없기 때문입니다.
이 계산기로 모든 피타고라스 수를 구할 수 있나요? 유클리드 공식은 (배율을 곱하면) 모든 피타고라스 수를 생성할 수 있습니다. 다만 하나의 (m, n) 쌍은 한 번에 하나의 기약 또는 배율 피타고라스 수만 만들어 냅니다.
기약 피타고라스 수란 무엇인가요? 기약 피타고라스 수는 a, b, c가 1 이외의 공약수를 갖지 않는 수를 말합니다. (3, 4, 5)나 (5, 12, 13)이 대표적인 예입니다.
