피타고라스 수란?
피타고라스 수(피타고라스 세 쌍)는 피타고라스 정리 \(a^2 + b^2 = c^2\)을 만족하는 세 개의 양의 정수 \((a, b, c)\)를 말합니다. 가장 잘 알려진 예는 \((3, 4, 5)\)로, \(9 + 16 = 25\)가 성립합니다. 이 계산기는 두 개의 씨앗 정수로부터 고전적인 유클리드 공식을 이용해 이러한 수의 쌍을 자동으로 만들어 줍니다.
사용 방법
두 자연수 \(m\)과 \(n\)을 입력하되, \(m\)이 \(n\)보다 커야 합니다(둘 다 1 이상, \(m\)은 2 이상). 계산 버튼을 누르면 사용한 \(m, n\) 값과 함께 피타고라스 수 \((a, b, c)\)가 출력됩니다. 두 변은 짧은 변이 먼저 오도록 정렬되어 표시됩니다.
공식 풀이
유클리드 공식에 따르면 \(m > n > 0\)인 임의의 정수에 대해 $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(m^2 - n^2,\ \ 2\,m\,n,\ \ m^2 + n^2\right)$$ 은 항상 피타고라스 수를 이룹니다. \(m\)과 \(n\)이 서로소이면서 둘 다 홀수가 아닐 때 결과는 기약 피타고라스 수(공약수로 더 이상 약분할 수 없는 수)가 됩니다. 그렇지 않으면 기약 수에 어떤 배수를 곱한 형태가 됩니다.
예제 풀이
\(m = 2\), \(n = 1\)을 넣어 봅시다. 그러면 $$a = 4 - 1 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 4 + 1 = 5$$ 이 되어 결과는 \((3, 4, 5)\)입니다. 검산하면 \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)로 정확합니다. \(m = 3\), \(n = 2\)를 선택하면 \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\)이 되어 널리 알려진 \((5, 12, 13)\)을 얻습니다.
자주 묻는 질문
왜 m이 n보다 커야 하나요? \(n \geq m\)이면 변 \(a = m^2 - n^2\)가 0 또는 음수가 되는데, 이는 변의 길이로 성립하지 않기 때문입니다.
모든 피타고라스 수를 얻을 수 있나요? 유클리드 공식은 (서로소이면서 홀짝이 다른 \(m, n\)으로) 모든 기약 피타고라스 수를 정확히 한 번씩 생성하며, 나머지 수들은 모두 그 배수 형태로 나타납니다.
(a, b, c)와 (b, a, c)는 같은 건가요? 두 변은 서로 바꿔도 무방합니다. 이 계산기는 일관성을 위해 더 짧은 변을 먼저 나열할 뿐입니다.
