Bộ ba số Pythagore là gì?
Bộ ba số Pythagore là tập hợp ba số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn định lý Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\). Ví dụ quen thuộc nhất chính là (3, 4, 5), vì \(9 + 16 = 25\). Công cụ này tự động tạo ra các bộ ba như vậy từ hai số nguyên ban đầu dựa trên công thức Euclid cổ điển.
Cách sử dụng công cụ
Bạn hãy nhập hai số nguyên m và n với điều kiện m lớn hơn n (cả hai đều từ 1 trở lên, và m ít nhất bằng 2). Nhấn tính toán, công cụ sẽ trả về bộ ba (a, b, c) cùng với giá trị m và n đã dùng. Hai cạnh góc vuông được sắp xếp sao cho cạnh ngắn hơn hiển thị trước.
Giải thích công thức
Công thức Euclid khẳng định rằng với mọi số nguyên \(m > n > 0\), các giá trị \(a = m^2 - n^2\), \(b = 2mn\) và \(c = m^2 + n^2\) luôn tạo thành một bộ ba Pythagore.
$$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$Khi m và n nguyên tố cùng nhau và không cùng là số lẻ, kết quả là một bộ ba nguyên thủy (bộ ba không thể rút gọn bằng ước chung). Ngược lại, bộ ba thu được sẽ là bội số (phóng to) của một bộ ba nguyên thủy nào đó.
Ví dụ minh họa
Lấy \(m = 2\) và \(n = 1\). Khi đó
$$a = 4 - 1 = 3, \quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4, \quad c = 4 + 1 = 5$$Kết quả là (3, 4, 5). Kiểm tra lại:
$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$Nếu chọn \(m = 3\), \(n = 2\) thì \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\) — chính là bộ ba (5, 12, 13) rất nổi tiếng.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao m phải lớn hơn n? Nếu \(n \geq m\) thì cạnh \(a = m^2 - n^2\) sẽ bằng 0 hoặc âm, không thể là độ dài cạnh hợp lệ.
Công thức này có tạo ra mọi bộ ba không? Công thức Euclid tạo ra mỗi bộ ba nguyên thủy đúng một lần (với m, n nguyên tố cùng nhau và khác tính chẵn lẻ), còn tất cả các bộ ba khác đều xuất hiện dưới dạng phiên bản phóng to.
Bộ ba (a, b, c) có giống (b, a, c) không? Hai cạnh góc vuông có thể hoán đổi cho nhau; công cụ chỉ liệt kê cạnh nhỏ hơn trước để thống nhất cách trình bày.
