Générateur de triplets pythagoriciens

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m (entier le plus grand)

n (entier le plus petit)

Résultats

Triplet pythagoricien

(3, 4, 5)

a² + b² = c²

Côté a	3
Côté b	4
Hypoténuse c	5
Valeurs de m et n utilisées	m = 2, n = 1

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs (a, b, c) qui vérifient le théorème de Pythagore : \(a^2 + b^2 = c^2\). L'exemple le plus connu est (3, 4, 5), car \(9 + 16 = 25\). Ce calculateur génère automatiquement de tels triplets à partir de deux entiers de départ, en s'appuyant sur la célèbre formule d'Euclide.

Un triplet pythagoricien décrit les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, où \(a^2 + b^2 = c^2\).

Comment utiliser le générateur

Saisissez deux nombres entiers m et n, avec m strictement supérieur à n (chacun au moins égal à 1, et m au moins égal à 2). Lancez le calcul : l'outil renvoie le triplet (a, b, c) ainsi que les valeurs de m et n employées. Les côtés de l'angle droit sont triés, le plus court étant affiché en premier.

La formule expliquée

La formule d'Euclide affirme que, pour tous entiers m > n > 0, les valeurs \(a = \text{m}^2 - \text{n}^2\), \(b = 2\,\text{m}\,\text{n}\) et \(c = \text{m}^2 + \text{n}^2\) forment toujours un triplet pythagoricien. La formule complète s'écrit :

$$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$

Lorsque m et n sont premiers entre eux et ne sont pas tous deux impairs, on obtient un triplet primitif (impossible à simplifier par un facteur commun). Dans le cas contraire, le triplet est un multiple d'un triplet primitif.

La formule d'Euclide associe deux entiers m et n au triplet \(a = \text{m}^2 - \text{n}^2\), \(b = 2\,\text{m}\,\text{n}\), \(c = \text{m}^2 + \text{n}^2\).

Exemple détaillé

Prenons m = 2 et n = 1. On a alors :

$$a = 4 - 1 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 4 + 1 = 5$$

Le résultat est (3, 4, 5). Vérification :

$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

En choisissant m = 3 et n = 2, on obtient \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\), soit le fameux triplet (5, 12, 13).

Questions fréquentes

Pourquoi m doit-il être supérieur à n ? Si n ≥ m, le côté \(a = \text{m}^2 - \text{n}^2\) serait nul ou négatif, ce qui ne correspond pas à une longueur valide.

Cette formule donne-t-elle tous les triplets ? La formule d'Euclide génère chaque triplet primitif exactement une fois (avec m et n premiers entre eux et de parités différentes) ; tous les autres triplets apparaissent comme des multiples de ces triplets primitifs.

(a, b, c) est-il identique à (b, a, c) ? Les deux côtés de l'angle droit sont interchangeables ; l'outil affiche simplement le plus petit en premier, par souci de cohérence.