Pisagor Üçlüsü Nedir?
Pisagor üçlüsü, \(a^2 + b^2 = c^2\) Pisagor teoremini sağlayan üç pozitif tam sayıdan (a, b, c) oluşan bir kümedir. En bilinen örnek (3, 4, 5)'tir; çünkü \(9 + 16 = 25\) eder. Bu hesaplama aracı, klasik Öklid formülünü kullanarak verilen iki başlangıç tam sayısından bu tür üçlüleri otomatik olarak üretir.
Üreticiyi Nasıl Kullanırsınız?
m sayısı n sayısından büyük olacak şekilde iki tam sayı girin (her ikisi de en az 1, m ise en az 2 olmalı). Hesapla butonuna bastığınızda araç, kullanılan m ve n değerleriyle birlikte (a, b, c) üçlüsünü döndürür. Dik kenarlar sıralanır ve kısa kenar önce gösterilir.
Formülün Açıklaması
Öklid formülüne göre, \(m > n > 0\) olan herhangi iki tam sayı için \(a = m^2 - n^2\), \(b = 2mn\) ve \(c = m^2 + n^2\) değerleri her zaman bir Pisagor üçlüsü oluşturur. $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$ m ile n aralarında asal olduğunda ve ikisi birden tek sayı olmadığında sonuç ilkel (primitif) bir üçlü olur; yani ortak bir çarpana bölünerek sadeleştirilemez. Aksi durumda elde edilen üçlü, ilkel bir üçlünün ölçeklenmiş katıdır.
Çözümlü Örnek
m = 2 ve n = 1 seçelim. Bu durumda \(a = 4 - 1 = 3\), \(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\) ve \(c = 4 + 1 = 5\) olur. Sonuç (3, 4, 5)'tir. Kontrol edelim: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$$ m = 3, n = 2 seçtiğimizde ise \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\) elde edilir; yani çok bilinen (5, 12, 13) üçlüsü.
Sık Sorulan Sorular
m neden n'den büyük olmalı? Eğer \(n \geq m\) olursa \(a = m^2 - n^2\) kenarı sıfır ya da negatif çıkar ki bu geçerli bir kenar uzunluğu değildir.
Bu araç tüm üçlüleri verir mi? Öklid formülü, her ilkel üçlüyü tam olarak bir kez üretir (aralarında asal ve farklı pariteye sahip m, n ile) ve tüm üçlüler bunların ölçeklenmiş hâlleri olarak ortaya çıkar.
(a, b, c) ile (b, a, c) aynı mıdır? İki dik kenarın yeri değiştirilebilir; bu araç tutarlılık için küçük kenarı her zaman önce listeler.
