Küplerin Farkı Nedir?
Küplerin farkı, \(a^{3} - b^{3}\) biçimindeki her ifadeye verilen addır. Bu ifade, sabit bir çarpanlara ayırma kalıbıyla bir iki terimlinin ve bir üç terimlinin çarpımına dönüşür: $$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$$ Bu hesaplayıcı, iki terimin küp köklerini, yani a ve b değerlerini alır ve anında tam çarpanlı hâli, her bir terimi ve sayısal sonucu verir.
Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Birinci terimin küp kökü olan a ile ikinci terimin küp kökü olan b değerini girin. Örneğin \(8x^{3} - 27\) ifadesini çarpanlarına ayırmak için bunu \((2x)^{3} - 3^{3}\) olarak düşünürsünüz; böylece \(a = 2\) ve \(b = 3\) olur (değişkeni ayrıca yanında taşırsınız). Tamamen sayısal sorularda ise yalnızca iki taban sayıyı yazmanız yeterlidir. Araç \((a - b)\), \(a^{2}\), \(ab\) ve \(b^{2}\) değerlerini hesaplar, ardından çarpanlı sonucu ve \(a^{3} - b^{3}\) değerini bir araya getirir.
Formülün Açıklaması
Üç terimli olan \(a^{2} + ab + b^{2}\) çarpanı, reel sayılar üzerinde daha fazla çarpanlarına ayrılamaz (diskriminantı negatiftir); bu kalıbı bu kadar kullanışlı kılan da budur. İşaret kuralına dikkat edin: iki terimli kısım, orijinal ifadeyle aynı işareti (eksi) kullanır; üç terimli kısım ise her zaman tamamen artıdır. Bu durum, \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) kalıbını kullanan küplerin toplamından farklıdır.
Çözümlü Örnek
\(27 - 8\) ifadesini çarpanlarına ayıralım. Burada \(a^{3} = 27\) olduğundan \(a = 3\), \(b^{3} = 8\) olduğundan \(b = 2\) olur. Buna göre \(a - b = 1\), \(a^{2} = 9\), \(ab = 6\) ve \(b^{2} = 4\) bulunur. Çarpanlı hâli $$(3 - 2)(9 + 6 + 4) = (1)(19) = 19$$ olur ki bu da \(27 - 8 = 19\) sonucuyla örtüşür.
Sıkça Sorulan Sorular
a, b'ye eşitse ne olur? Bu durumda \(a - b = 0\) olur ve ifadenin tamamı 0'a eşittir; çarpanlı hâli de bunu doğru biçimde gösterir.
a ve b ondalıklı ya da negatif olabilir mi? Evet. Kalıp tüm reel sayılar için geçerlidir; hesaplayıcı kesirleri ve negatif değerleri de işler.
Bunun küplerin toplamından farkı nedir? Küplerin toplamı \(a^{3} + b^{3}\), \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) biçiminde çarpanlarına ayrılır — yani iki terimlideki ve ortadaki üç terimlideki işaretler ters döner.
