「3乗の差」とは？
「3乗の差」とは、\(a^{3} - b^{3}\) の形をした式のことです。これには決まった因数分解のパターンがあり、1次式（2項式）と2次式（3項式）の積に変形できます。すなわち \(a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\) です。この計算機に a と b（2つの項の3乗根）を入力すると、完全に因数分解した式、各項の値、そして数値としての計算結果が一瞬で求められます。
この計算機の使い方
1つ目の項の3乗根である a と、2つ目の項の3乗根である b を入力します。たとえば \(8x^{3} - 27\) を因数分解したい場合は、これを \((2x)^{3} - 3^{3}\) とみなすので a = 2、b = 3 となります（文字 x は別に付けて考えます）。数値だけの問題なら、基準となる2つの数をそのまま入力するだけです。計算機は \((a - b)\)、\(a^{2}\)、\(ab\)、\(b^{2}\) を求め、因数分解した答えと \(a^{3} - b^{3}\) の値を組み立てて表示します。
公式の解説
3項式の因数 \(a^{2} + ab + b^{2}\) は、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません（判別式が負になるため）。だからこそ、このパターンはとても便利なのです。符号のルールにも注目してください。2項式の因数はもとの式と同じ符号（マイナス）を使いますが、3項式の因数はつねにすべてプラスになります。これは「3乗の和」が \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) と分解されるのとは符号が異なる点です。
計算例
\(27 - 8\) を因数分解してみましょう。ここでは \(a^{3} = 27\) なので a = 3、\(b^{3} = 8\) なので b = 2 です。すると a − b = 1、\(a^{2} = 9\)、ab = 6、\(b^{2} = 4\) となります。因数分解した形は $$\left(3 - 2\right)\left(9 + 6 + 4\right) = (1)(19) = 19$$ となり、\(27 - 8 = 19\) と一致します。
よくある質問
a と b が等しいときは？ その場合 a − b = 0 となり、式全体が 0 になります。因数分解した式でも正しく 0 と表されます。
a や b に小数や負の数を使えますか？ はい。このパターンはあらゆる実数で成り立ちます。この計算機は分数や負の数にも対応しています。
「3乗の和」とは何が違うのですか？ 3乗の和 \(a^{3} + b^{3}\) は \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) と分解されます。2項式と、3項式の真ん中の項の符号が反対になります。
