¿Qué es la diferencia de cubos?
Una diferencia de cubos es cualquier expresión con la forma \(a^{3} - b^{3}\). Tiene un patrón de factorización fijo que la convierte en el producto de un binomio por un trinomio: $$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + ab + b^{2}\right)$$ Esta calculadora toma los valores de a y b (las raíces cúbicas de cada uno de los dos términos) y te devuelve al instante la forma totalmente factorizada, cada término por separado y el resultado numérico.
Cómo usar esta calculadora
Introduce a, la raíz cúbica del primer término, y b, la raíz cúbica del segundo. Por ejemplo, para factorizar \(8x^{3} - 27\) lo interpretas como \(\left(2x\right)^{3} - 3^{3}\), así que \(a = 2\) y \(b = 3\) (arrastrando la variable por separado). Para problemas puramente numéricos, basta con escribir los dos números base. La herramienta calcula \(\left(a - b\right)\), \(a^{2}\), \(ab\) y \(b^{2}\), y después arma la respuesta factorizada y el valor de \(a^{3} - b^{3}\).
La fórmula explicada
El factor trinomial \(a^{2} + ab + b^{2}\) no se puede factorizar más sobre los números reales (su discriminante es negativo), y por eso este patrón resulta tan útil. Fíjate en la regla de signos: el binomio mantiene el mismo signo que la expresión original (menos), mientras que el trinomio siempre es todo positivo. Esto se diferencia de la suma de cubos, que usa \(\left(a + b\right)\left(a^{2} - ab + b^{2}\right)\).
Ejemplo resuelto
Vamos a factorizar \(27 - 8\). Aquí \(a^{3} = 27\), así que \(a = 3\), y \(b^{3} = 8\), así que \(b = 2\). Entonces \(a - b = 1\), \(a^{2} = 9\), \(ab = 6\) y \(b^{2} = 4\). La forma factorizada es $$\left(3 - 2\right)\left(9 + 6 + 4\right) = \left(1\right)\left(19\right) = 19$$ que coincide con \(27 - 8 = 19\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a es igual a b? Entonces \(a - b = 0\) y toda la expresión vale 0, algo que la forma factorizada refleja correctamente.
¿Pueden a y b ser decimales o negativos? Sí. El patrón funciona para cualquier número real; la calculadora admite fracciones y números negativos.
¿En qué se diferencia de una suma de cubos? Una suma de cubos \(a^{3} + b^{3}\) se factoriza como \(\left(a + b\right)\left(a^{2} - ab + b^{2}\right)\): cambian los signos del binomio y del término central del trinomio.
