¿Qué es el teorema de De Moivre?
El teorema de De Moivre ofrece una forma elegante de elevar un número complejo a cualquier potencia. En lugar de multiplicar el binomio una y otra vez, expresas el número complejo en forma polar —mediante su módulo \(r\) y su argumento \(\theta\)— y luego basta con elevar \(r\) a la potencia \(n\) y multiplicar el ángulo por \(n\). Esta calculadora se encarga por ti de la conversión y del cálculo, y te devuelve el resultado tanto en forma polar como en forma rectangular (\(a + bi\)).
Cómo usar esta calculadora
Introduce la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) de tu número complejo \(z = a + bi\) y, a continuación, el exponente \(n\). La herramienta calcula la forma polar, aplica el teorema de De Moivre y muestra la parte real, la parte imaginaria, el módulo y el argumento del resultado. El exponente puede ser cualquier número real, incluidas fracciones para obtener raíces y valores negativos para los inversos.
La fórmula explicada
Primero pasamos a forma polar: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) es la distancia al origen y \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) es el ángulo. El teorema de De Moivre establece entonces que
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$El nuevo módulo es \(r^{n}\) y el nuevo argumento es \(n\theta\). Al volver a la forma rectangular obtenemos \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 1 + i\) con \(n = 2\). Aquí \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) y \(\theta = 45°\). Por De Moivre, el módulo pasa a ser \((\sqrt{2})^{2} = 2\) y el argumento se convierte en \(2 \times 45° = 90°\). Así que
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$Puedes comprobarlo directamente: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\). ✓
Preguntas frecuentes
¿Puede n ser negativo o fraccionario? Sí. Un \(n\) negativo da la potencia inversa y un \(n\) fraccionario da una de las raíces (la raíz principal, que corresponde al argumento principal).
¿Por qué usar atan2 en lugar de arctan? \(\operatorname{atan2}(b, a)\) devuelve el cuadrante correcto del ángulo, mientras que el simple \(\arctan(b/a)\) pierde la información del signo y falla cuando \(a = 0\).
¿Y si z = 0? El módulo es \(0\), por lo que \(0^{n} = 0\) para \(n\) positivo; el argumento queda indefinido, pero aquí se trata como \(0\).
