Что такое формула Муавра?
Формула Муавра — это изящный способ возвести комплексное число в любую степень. Вместо того чтобы многократно перемножать двучлены, число записывают в тригонометрической форме — через модуль \(r\) и аргумент \(\theta\) — после чего достаточно возвести \(r\) в степень \(n\), а угол умножить на \(n\). Этот калькулятор сам выполняет перевод в нужную форму и все вычисления, выдавая ответ сразу в тригонометрической и алгебраической (\(a + bi\)) форме.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть \(a\) и мнимую часть \(b\) комплексного числа \(z = a + bi\), а затем укажите показатель степени \(n\). Инструмент переведёт число в тригонометрическую форму, применит формулу Муавра и покажет получившиеся действительную и мнимую части, модуль и аргумент. Показатель \(n\) может быть любым действительным числом — в том числе дробным (для извлечения корней) и отрицательным (для обратных степеней).
Разбор формулы
Сначала переходим к тригонометрической форме: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) — это расстояние от начала координат, а \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) — угол. Тогда формула Муавра гласит:
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$Новый модуль равен \(r^{n}\), а новый аргумент — \(n\theta\). Возврат к алгебраической форме даёт \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
Разобранный пример
Возьмём \(z = 1 + i\) при \(n = 2\). Здесь \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\), а \(\theta = 45°\). По формуле Муавра модуль становится равным \((\sqrt{2})^{2} = 2\), а аргумент — \(2 \times 45° = 90°\). Значит,
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$Это легко проверить напрямую: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\). ✓
Частые вопросы
Может ли \(n\) быть отрицательным или дробным? Да. Отрицательный \(n\) даёт обратную степень, а дробный \(n\) — один из корней (главный корень, соответствующий главному значению аргумента).
Почему используется atan2, а не arctan? Функция \(\operatorname{atan2}(b, a)\) возвращает угол в правильной четверти, тогда как обычный \(\arctan(b/a)\) теряет информацию о знаке и не работает при \(a = 0\).
А если \(z = 0\)? Модуль равен 0, поэтому \(0^{n} = 0\) для положительных \(n\); аргумент в этом случае не определён, но здесь принимается равным 0.
