Định lý De Moivre là gì?
Định lý De Moivre cho ta một cách tính lũy thừa của số phức cực kỳ gọn gàng. Thay vì phải khai triển và nhân nhị thức nhiều lần, ta chuyển số phức về dạng lượng giác — dựa vào mô-đun \(r\) và acgumen \(\theta\) — rồi chỉ cần nâng \(r\) lên lũy thừa \(n\) và nhân góc với \(n\). Máy tính này sẽ tự lo phần chuyển đổi và tính toán giúp bạn, đồng thời trả về kết quả ở cả dạng lượng giác lẫn dạng đại số (\(a + bi\)).
Cách sử dụng máy tính
Nhập phần thực \(a\) và phần ảo \(b\) của số phức \(z = a + bi\), sau đó nhập số mũ \(n\). Công cụ sẽ tính dạng lượng giác, áp dụng định lý De Moivre rồi cho ra phần thực, phần ảo, mô-đun và acgumen của kết quả. Số mũ \(n\) có thể là bất kỳ số thực nào, kể cả phân số (để lấy căn) hay số âm (để lấy nghịch đảo).
Giải thích công thức
Trước tiên hãy chuyển về dạng lượng giác: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) là khoảng cách tới gốc tọa độ, còn \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) là góc. Khi đó định lý De Moivre phát biểu rằng
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$Mô-đun mới là \(r^{n}\) và acgumen mới là \(n\theta\). Chuyển ngược trở lại dạng đại số ta được \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
Ví dụ minh họa
Xét \(z = 1 + i\) với \(n = 2\). Ở đây \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) và \(\theta = 45°\). Theo định lý De Moivre, mô-đun trở thành \((\sqrt{2})^{2} = 2\) còn acgumen trở thành \(2 \times 45° = 90°\). Vậy
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$Bạn có thể kiểm tra trực tiếp: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\). ✓
Câu hỏi thường gặp
\(n\) có thể âm hoặc là phân số không? Có. Số mũ \(n\) âm cho ra lũy thừa nghịch đảo, còn \(n\) phân số cho ra một trong các căn (cụ thể là căn chính, ứng với acgumen chính).
Tại sao dùng atan2 thay vì arctan? Hàm \(\operatorname{atan2}(b, a)\) trả về đúng góc theo từng góc phần tư, trong khi \(\arctan(b/a)\) đơn thuần làm mất thông tin về dấu và không xử lý được khi \(a = 0\).
Nếu \(z = 0\) thì sao? Khi đó mô-đun bằng 0, nên \(0^{n} = 0\) với \(n\) dương; acgumen không xác định nhưng ở đây được quy ước bằng 0.
