什麼是棣美弗定理？
棣美弗定理（De Moivre's Theorem）提供了一種優雅的方式，讓我們能將複數提升至任意次方。與其反覆展開二項式相乘，你只要先把複數寫成極式——也就是用它的模長 \(r\) 與輻角 \(\theta\) 表示——接著將 \(r\) 取 \(n\) 次方，再把角度乘上 \(n\) 即可。本計算機會自動為你完成換算與運算，並同時以極式與直角座標（\(a + bi\)）兩種形式回傳結果。
如何使用本計算機
輸入複數 \(z = a + bi\) 的實部 \(a\) 與虛部 \(b\)，再填入指數 \(n\)。工具會先計算極式，套用棣美弗定理，然後回報運算後的實部、虛部、模長與輻角。指數 \(n\) 可以是任意實數，包含可用來求方根的分數，以及代表倒數的負數。
公式詳解
首先轉換為極式：\(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) 是複數到原點的距離，而 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) 則是角度。棣美弗定理告訴我們
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$新的模長為 \(r^{n}\)，新的輻角為 \(n\theta\)。再換算回直角座標，即得 \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)。
實例演算
以 \(z = 1 + i\)、\(n = 2\) 為例。此時 \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)，\(\theta = 45^{\circ}\)。套用棣美弗定理，模長變為 \((\sqrt{2})^{2} = 2\)，輻角變為 \(2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}\)。因此
$$z^{2} = 2(\cos 90^{\circ} + i\sin 90^{\circ}) = 0 + 2i$$你也可以直接驗算：\((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\)。✓
常見問題 FAQ
n 可以是負數或分數嗎？可以。負的 \(n\) 會得到倒數次方，分數的 \(n\) 則會得到其中一個方根（也就是對應主輻角的主根）。
為什麼要用 atan2 而不是 arctan？\(\operatorname{atan2}(b, a)\) 能正確判斷角度所在的象限，而單純的 \(\arctan(b/a)\) 會遺失正負號資訊，且當 \(a = 0\) 時無法運算。
如果 z = 0 怎麼辦？此時模長為 0，所以當 \(n\) 為正數時 \(0^{n} = 0\)；輻角在數學上沒有定義，但本計算機在此一律視為 0。
