什么是棣莫弗定理？
棣莫弗定理（De Moivre 定理）为复数求幂提供了一种简洁优雅的方法。你无需反复展开二项式做繁琐的乘法运算，只要把复数写成极坐标形式——用模长 \(r\) 和辐角 \(\theta\) 表示——再把 \(r\) 取 \(n\) 次幂、把辐角乘以 \(n\) 即可。这款计算器会自动完成形式转换和全部运算，同时给出极坐标形式和直角坐标（\(a + bi\)）形式两种结果。
如何使用本计算器
先输入复数 \(z = a + bi\) 的实部 \(a\) 和虚部 \(b\)，再输入指数 \(n\)。工具会算出极坐标形式，套用棣莫弗定理，最后给出结果的实部、虚部、模长和辐角。指数 \(n\) 可以是任意实数：取分数时对应开方（求根），取负数时对应倒数幂。
公式详解
第一步先转换为极坐标形式：\(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) 表示该点到原点的距离，\(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) 表示辐角。棣莫弗定理指出：
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$也就是说，新的模长为 \(r^{n}\)，新的辐角为 \(n\theta\)。再转换回直角坐标形式即得 \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)。
实例演示
设 \(z = 1 + i\)，\(n = 2\)。此时 \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)，\(\theta = 45°\)。根据棣莫弗定理，模长变为 \((\sqrt{2})^{2} = 2\)，辐角变为 \(2 \times 45° = 90°\)。因此
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$我们可以直接验证：\((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\)。✓
常见问题
\(n\) 可以是负数或分数吗？ 可以。\(n\) 为负数时得到的是倒数幂；\(n\) 为分数时得到的是其中一个方根（即主根，对应主辐角）。
为什么用 atan2 而不是 arctan？ \(\operatorname{atan2}(b, a)\) 能正确判断辐角所在的象限，而普通的 \(\arctan(b/a)\) 会丢失符号信息，并且在 \(a = 0\) 时无法计算。
如果 \(z = 0\) 怎么办？ 此时模长为 0，因此当 \(n\) 为正数时 \(0^{n} = 0\)；辐角在数学上没有定义，本计算器将其按 0 处理。
