Qu'est-ce que le théorème de De Moivre ?
Le théorème de De Moivre offre une méthode élégante pour élever un nombre complexe à n'importe quelle puissance. Plutôt que de développer laborieusement un binôme par multiplications successives, on exprime le nombre complexe sous sa forme polaire — à l'aide de son module \(r\) et de son argument \(\theta\) — puis il suffit d'élever \(r\) à la puissance \(n\) et de multiplier l'angle par \(n\). Ce calculateur se charge de la conversion et du calcul à votre place, en restituant le résultat à la fois sous forme polaire et sous forme cartésienne (\(a + bi\)).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) de votre nombre complexe \(z = a + bi\), puis indiquez l'exposant \(n\). L'outil calcule la forme polaire, applique le théorème de De Moivre et affiche la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument du résultat. L'exposant peut être n'importe quel réel, y compris des fractions pour les racines et des valeurs négatives pour les inverses.
La formule expliquée
On commence par convertir en forme polaire : \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) représente la distance à l'origine, et \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) donne l'angle. Le théorème de De Moivre énonce alors que
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$Le nouveau module vaut \(r^{n}\) et le nouvel argument vaut \(n\theta\). En revenant à la forme cartésienne, on obtient \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
Exemple détaillé
Prenons \(z = 1 + i\) avec \(n = 2\). Ici, \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) et \(\theta = 45°\). D'après De Moivre, le module devient \((\sqrt{2})^{2} = 2\) et l'argument devient \(2 \times 45° = 90°\). Ainsi
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$On peut le vérifier directement : \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\). ✓
Questions fréquentes
n peut-il être négatif ou fractionnaire ? Oui. Un \(n\) négatif donne la puissance inverse, tandis qu'un \(n\) fractionnaire donne l'une des racines (la racine principale, correspondant à l'argument principal).
Pourquoi utiliser atan2 plutôt qu'arctan ? \(\operatorname{atan2}(b, a)\) renvoie l'angle dans le bon quadrant, alors qu'\(\arctan(b/a)\) perd l'information de signe et échoue lorsque \(a = 0\).
Et si z = 0 ? Le module vaut \(0\), donc \(0^{n} = 0\) pour \(n\) positif ; l'argument n'est pas défini, mais il est ici considéré comme nul.
