Qu'est-ce que le théorème de Tchebychev ?
Le théorème de Tchebychev (aussi appelé inégalité de Bienaymé-Tchebychev) indique la proportion minimale de données qui doivent se situer à l'intérieur d'un certain nombre d'écarts-types autour de la moyenne — et il fonctionne pour n'importe quelle distribution, aussi asymétrique ou irrégulière soit-elle. Contrairement à la règle empirique, qui ne s'applique qu'aux données en forme de cloche (loi normale), la borne de Tchebychev reste valable de façon universelle.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez k, le nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne qui vous intéresse. Le calculateur renvoie la proportion minimale (et le pourcentage) d'observations garanties de se trouver dans cet intervalle, ainsi que la proportion maximale susceptible de s'en écarter. Attention : k doit être supérieur à 1 pour obtenir une borne positive et exploitable — à \(k = 1\), le théorème ne garantit rien (0 %).
La formule expliquée
Le théorème s'énonce ainsi :
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
Ici, \(\mu\) représente la moyenne, \(\sigma\) l'écart-type et \(k\) le nombre d'écarts-types. La quantité \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) correspond à la proportion minimale garantie à l'intérieur de l'intervalle \((\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)\). Son complément, \(\frac{1}{k^{2}}\), est la proportion maximale pouvant se situer à l'extérieur.
Exemple concret
Prenons \(k = 2\). On obtient alors $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75.$$ Autrement dit, au moins 75 % des valeurs se trouvent à moins de 2 écarts-types de la moyenne, et au plus 25 % en dehors — et ce, quelle que soit la forme de la distribution. Pour \(k = 3\), la borne vaut \(1 - \frac{1}{9} \approx 88{,}89\,\%\).
FAQ
Pourquoi k doit-il être supérieur à 1 ? À \(k = 1\), la borne vaut \(1 - \frac{1}{1} = 0\), ce qui ne garantit absolument rien. Pour tout \(k < 1\), la borne devient négative et perd tout sens ; le calculateur affiche alors 0 %.
Quelle différence avec la règle empirique ? La règle empirique (68-95-99,7) donne des pourcentages approximatifs, mais uniquement pour les distributions normales. Le théorème de Tchebychev fournit une borne inférieure garantie pour toute distribution : ses pourcentages sont donc toujours plus faibles (plus prudents).
k peut-il être un nombre décimal ? Oui. \(k\) peut prendre n'importe quelle valeur supérieure à 1, comme 1,5 ou 2,5 ; la formule \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) fonctionne aussi pour des valeurs non entières.
