Калькулятор неравенства Чебышёва

Введите расчет

Число стандартных отклонений (k) Чтобы оценка имела смысл (была положительной), k должно быть больше 1.

Результатов

At least this fraction of data lies within 2 standard deviations of the mean

75%

i.e. at least 0,75 of all values

Минимальная доля в пределах k σ	0,75
Не более чем за пределами k σ	25%

Что такое неравенство Чебышёва?

Теорема Чебышёва (она же неравенство Чебышёва) определяет минимальную долю данных, которая обязательно попадает в интервал в пределах заданного числа стандартных отклонений от среднего, — и это работает для любого распределения, каким бы асимметричным или необычным оно ни было. В отличие от правила трёх сигм, применимого только к колоколообразным (нормальным) данным, оценка Чебышёва справедлива всегда.

Теорема Чебышёва задаёт минимальную долю данных в пределах \(k\) стандартных отклонений от среднего.

Как пользоваться калькулятором

Введите k — число стандартных отклонений от среднего, которое вас интересует. Калькулятор покажет минимальную долю (и процент) наблюдений, гарантированно попадающих в этот диапазон, а также максимальную долю, которая может оказаться за его пределами. Учтите: для получения полезной положительной оценки \(k\) должно быть больше 1 — при \(k = 1\) теорема не гарантирует ничего (0%).

Разбор формулы

Теорема утверждает:

$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$

Здесь \(\mu\) — среднее, \(\sigma\) — стандартное отклонение, \(k\) — число стандартных отклонений. Величина \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) и есть гарантированная минимальная доля внутри интервала \((\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)\). Дополнение к ней, \(\frac{1}{k^{2}}\), — максимальная доля, которая может оказаться вне этого интервала.

Реклама

Гарантированная минимальная доля растёт с увеличением \(k\): 75 % при \(k=2\), около 89 % при \(k=3\) и около 94 % при \(k=4\).

Пример расчёта

Пусть \(k = 2\). Тогда $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75.$$ Значит, не менее 75% всех значений лежат в пределах 2 стандартных отклонений от среднего, и не более 25% — за их пределами, причём независимо от формы распределения. Для \(k = 3\) оценка составляет \(1 - \frac{1}{9} \approx 88{,}89\%\).

Частые вопросы

Почему k должно быть больше 1? При \(k = 1\) оценка равна \(1 - \frac{1}{1} = 0\), то есть не гарантирует ничего. При любом \(k < 1\) значение становится отрицательным и теряет смысл, поэтому калькулятор показывает 0%.

Чем это отличается от правила трёх сигм? Правило трёх сигм (68–95–99,7) даёт приблизительные проценты, но только для нормальных распределений. Неравенство Чебышёва задаёт гарантированную нижнюю границу для любого распределения, поэтому его проценты всегда меньше (то есть оценка более осторожная).

Может ли k быть дробным? Да. \(k\) может принимать любое значение больше 1, например 1,5 или 2,5; формула \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) работает и для нецелых \(k\).