Калькулятор центральной предельной теоремы

Введите расчет

Среднее совокупности (μ)

Стандартное отклонение совокупности (σ)

Объём выборки (n)

Результатов

Стандартная ошибка выборочного среднего

2,5

SE = σ / √n

Среднее выборочного распределения (μ_x̄)	100
Дисперсия выборочного среднего (σ²/n)	6,25

Что такое центральная предельная теорема?

Центральная предельная теорема (ЦПТ) — один из фундаментов всей статистики. Она утверждает, что если многократно брать случайные выборки объёмом n из любой совокупности со средним μ и стандартным отклонением σ, то распределение выборочных средних с ростом n приближается к нормальному — и это не зависит от формы исходного распределения совокупности. Этот калькулятор сразу выдаёт два ключевых параметра такого выборочного распределения: его среднее и стандартную ошибку.

С ростом объёма выборки выборочное распределение среднего становится более нормальным и узким, независимо от формы распределения совокупности.

Как пользоваться калькулятором

Введите среднее совокупности (μ), её стандартное отклонение (σ) и объём вашей выборки (n). Калькулятор вернёт среднее выборочного распределения (оно равно μ), стандартную ошибку среднего (SE) и дисперсию выборочного среднего (\(\sigma^2/n\)). По распространённому эмпирическому правилу нормальное приближение считается надёжным при n ≥ 30.

Разбираем формулу

ЦПТ говорит нам о выборочном распределении средних две вещи. Во-первых, его центр совпадает с центром совокупности: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). Во-вторых, его разброс уменьшается по мере роста выборок:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Поскольку деление на \(\sqrt{n}\) снижает изменчивость, большие выборки дают более точные оценки истинного среднего. Дисперсия выборочного среднего — это просто квадрат стандартной ошибки, то есть \(\sigma^2/n\).

Реклама

Стандартная ошибка уменьшается с ростом объёма выборки n.

Пример с решением

Пусть в совокупности μ = 100 и σ = 15, а вы извлекаете выборки объёмом n = 36. Тогда \(\mu_{\bar{x}} = 100\), а $$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$$ Дисперсия выборочного среднего равна $$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6{,}25$$ Значит, выборочные средние тесно группируются вокруг 100 со стандартной ошибкой всего 2,5.

Частые вопросы

Обязательно ли совокупность должна быть нормальной? Нет. В этом и сила ЦПТ: при достаточно большом n выборочное распределение средних приближается к нормальному, даже если сама совокупность асимметрична.

Какой объём выборки считается «достаточно большим»? Обычно ориентируются на n ≥ 30, хотя для сильно асимметричных совокупностей может потребоваться больше.

Почему стандартная ошибка уменьшается с ростом выборки? Усреднение большего числа наблюдений сглаживает случайный шум, поэтому с ростом n оценка среднего становится устойчивее.