Merkezi Limit Teoremi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Ana kütle ortalaması (μ)

Ana kütle standart sapması (σ)

Örneklem büyüklüğü (n)

Sonuç

Örneklem Ortalamasının Standart Hatası

2,5

SE = σ / √n

Örnekleme dağılımının ortalaması (μ_x̄)	100
Örneklem ortalamasının varyansı (σ²/n)	6,25

Merkezi Limit Teoremi nedir?

Merkezi Limit Teoremi (MLT), istatistiğin temel taşlarından biridir. Bu teorem; ortalaması \(\mu\) ve standart sapması \(\sigma\) olan herhangi bir ana kütleden tekrar tekrar n büyüklüğünde rastgele örneklemler aldığınızda, örneklem ortalamalarının dağılımının — ana kütlenin biçimi ne olursa olsun — n büyüdükçe yaklaşık olarak normal dağılıma yaklaştığını söyler. Bu hesaplama aracı, söz konusu örnekleme dağılımının iki temel parametresini verir: ortalaması ve standart hatası.

Örneklem büyüklüğü arttıkça, ortalamanın örnekleme dağılımı, ana kütlenin şeklinden bağımsız olarak daha normal ve daha dar hale gelir.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Ana kütle ortalamasını (\(\mu\)), ana kütle standart sapmasını (\(\sigma\)) ve örneklem büyüklüğünüzü (n) girin. Araç; örnekleme dağılımının ortalamasını (\(\mu\)'ye eşittir), ortalamanın standart hatasını (SE) ve örneklem ortalamasının varyansını (\(\sigma^2/n\)) döndürür. Yaygın bir pratik kural, n ≥ 30 olduğunda normal yaklaşımın güvenilir hâle geldiğidir.

Formülün açıklaması

MLT, ortalamanın örnekleme dağılımı hakkında bize iki şey söyler. Birincisi, dağılımın merkezi ana kütleyle aynıdır:

$$\mu_{\bar{x}} = \mu$$

İkincisi, örneklemler büyüdükçe yayılım daralır:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

\(\sqrt{n}\)'ye bölmek değişkenliği azalttığından, daha büyük örneklemler gerçek ortalamaya dair daha hassas tahminler verir. Örneklem ortalamasının varyansı ise basitçe standart hatanın karesidir, yani \(\sigma^2/n\).

Reklam

Örneklem büyüklüğü n arttıkça standart hata küçülür.

Çözümlü örnek

Diyelim ki bir ana kütlenin \(\mu = 100\) ve \(\sigma = 15\) değerleri var ve n = 36 büyüklüğünde örneklemler alıyorsunuz. Bu durumda \(\mu_{\bar{x}} = 100\) olur ve $$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$$ hesaplanır. Örneklem ortalamasının varyansı ise $$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6{,}25$$ tir. Yani örneklem ortalamaları, yalnızca 2,5'lik bir standart hatayla 100 etrafında sıkıca kümelenir.

Sık sorulan sorular

Ana kütlenin normal dağılması gerekir mi? Hayır. MLT'nin gücü tam da buradadır — yeterince büyük n için, ana kütle çarpık olsa bile ortalamanın örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir.

"Yeterince büyük" örneklem büyüklüğü nedir? Yaygın bir kılavuz ilke n ≥ 30'dur; ancak ileri derecede çarpık ana kütleler için daha büyük örneklemler gerekebilir.

Örneklem büyüdükçe standart hata neden küçülür? Daha fazla gözlemin ortalamasını almak rastgele gürültüyü dengeler; böylece n arttıkça ortalama tahmini daha kararlı hâle gelir.