¿Qué es el Teorema Central del Límite?
El Teorema Central del Límite (TCL) es uno de los pilares de la estadística. Afirma que, al extraer muestras aleatorias repetidas de tamaño n de cualquier población con media μ y desviación típica σ, la distribución de las medias muestrales se aproxima cada vez más a una normal a medida que crece n, sin importar la forma de la población original. Esta calculadora te ofrece los dos parámetros clave de esa distribución muestral: su media y su error estándar.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la media de la población (μ), la desviación típica de la población (σ) y el tamaño de tu muestra (n). La herramienta devuelve la media de la distribución muestral (que coincide con μ), el error estándar de la media (EE) y la varianza de la media muestral (\(\sigma^2/n\)). Una regla práctica habitual indica que con n ≥ 30 la aproximación normal resulta fiable.
La fórmula explicada
El TCL nos dice dos cosas sobre la distribución muestral de la media. Primero, su centro es el mismo que el de la población: $$\mu_{\bar{x}} = \mu$$ Segundo, su dispersión disminuye a medida que las muestras se hacen mayores: $$EE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Como dividir entre \(\sqrt{n}\) reduce la variabilidad, las muestras más grandes ofrecen estimaciones más precisas de la verdadera media. La varianza de la media muestral es simplemente el cuadrado del error estándar, \(\sigma^2/n\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que una población tiene \(\mu = 100\) y \(\sigma = 15\), y que extraes muestras de tamaño \(n = 36\). Entonces \(\mu_{\bar{x}} = 100\) y $$EE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$$ La varianza de la media muestral es $$\frac{15^2}{36} = \frac{225}{36} = 6{,}25$$ Así pues, las medias muestrales se agrupan estrechamente en torno a 100, con un error estándar de tan solo 2,5.
Preguntas frecuentes
¿La población tiene que ser normal? No. Ahí reside la potencia del TCL: con un n lo bastante grande, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal aunque la población esté sesgada.
¿Qué tamaño de muestra es "lo bastante grande"? Una pauta común es n ≥ 30, aunque las poblaciones muy asimétricas pueden requerir más.
¿Por qué el error estándar disminuye con muestras más grandes? Al promediar más observaciones, el ruido aleatorio se compensa, por lo que la estimación de la media se vuelve más estable a medida que aumenta n.
